2016-2017学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知角α的终点经过点P（3，﹣），则tanα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．2．（4分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝sin（2x﹣）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x+）3．（4分）高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号、34号、48号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．18B．20C．21D．234．（4分）运行程序，输入n＝4，则输出y的值是（）A．B．C．D．5．（4分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对6．（4分）已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ＝（）A．B．C．D．7．（4分）某公司8位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x3，…x8，其平均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则这8位员工下月工资的平均值和方差分别为（）A．，s2+2002B．+200，s2+2002C．+200，s2D．，s28．（4分）已知x∈（0，π），任取一个x值使得cos（π﹣x）的概率是（）A．B．C．D．9．（4分）设a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f（x）＝cos2x+2a sin x﹣1的最大值为（）A．2a+1B．2a﹣1C．﹣2a﹣1D．a210．（4分）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△APC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）甲、乙、丙三人任意站成一排，则甲站在两端的概率是．12．（4分）若sinα﹣cosα＝，则sin2α＝．13．（4分）辗转相除法与更相减损术都是求两个正整数的最大公因数的有效算法，用这两种方法均可求得1254和1881的最大公约数为．14．（4分）如图为平行四边形ABCD，G为BC的中点，M、N分别为AB和CD的三等分点（M靠近A，N靠近C）.，，则＝（用a，b表示）．15．（4分）下列说法：①函数f（x）＝sin（x）的一条对称轴方程是x＝2π；②十进制数68（10）转化为三进制数是2112（3）；③函数f（x）＝sin（﹣2x）的增区间是[]，k∈Z；④若△ABC中三个内角满足sin C＝2sin A cos B，则△ABC是等腰三角形．其中正确的有．三、解答题（共5小题，满分40分）16．（6分）已知向量＝（2cosθ，sinθ），＝（1，﹣2）．（1）若∥，求的值；（2）若θ＝45°，2﹣t与+垂直，求实数t的值．17．（8分）某企业生产的一种产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表：（1）根据上述数据，求出销售额y（万元）关于广告费用x（万元）的线性回归方程；（2）如果企业要求该产品的销售额不少于36万元，则投入的广告费用应不少于多少万元？（参考数值：，，，，．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，）18．（8分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝4，C、D是半圆上的两个三等分点．（1）求和||；（2）在半圆内任取一点P，求△ABP的面积大于2的概率．19．（8分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．20．（10分）已知＝（），＝（8cos x，cos2x），f（x）＝•+m，m∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x时，﹣3≤f（x）≤14恒成立，求实数m的取值范围；（3）设A为△ABC的一个内角，且f（）﹣m＝，cos B＝，求cos C的值．2016-2017学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：角α的终点经过点P（3，﹣），则tanα＝＝．故选：C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．2．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，那么所得的图象的函数解析式是y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．3．【考点】B4：系统抽样方法．【解答】解：高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，则间隔为＝14，∵6号、34号、48号学生在样本中，∴样本中还有一个学生的编号为20．故选：B．【点评】本题考查样本编号的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．4．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y＝的值，由于n＝4，可得：y＝sin（）＝sin cos+cos sin＝．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．5．【考点】C4：互斥事件与对立事件．【解答】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：B．【点评】本题考查了互斥事件与对立事件，考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．6．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：根据f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝．再根据五点法作图可得•+φ＝，∴φ＝，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：根据题意，某公司8位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x3，…x8，其平均值和方差分别为和s2，则有＝（x1+x2+…+x8），s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x8﹣）2]，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则平均数为′＝（x1+200+x2+200…+x8+200）＝+200，其方差s′2＝[（x1+200﹣﹣200）2+（x2+200﹣﹣200）2+（x3+200﹣﹣200）2+…+（x8+200﹣﹣200）2]＝s2，故选：C．【点评】本题考查平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的定义与性质．8．【考点】CF：几何概型．【解答】解：∵cos（π﹣x），∴cos x＜；又∵x∈（0，π），∴＜x＜π，∴所求的概率值为P＝＝．故选：D．【点评】本题考查了三角函数与几何概型的概率计算问题，是基础题．9．【考点】HW：三角函数的最值．【解答】解：f（x）＝cos2x+2a sin x﹣1＝1﹣sin2x+2a sin x﹣1＝﹣（sin x﹣a）2+a2，∵0≤x≤2π，∴﹣1≤sin x≤1，又∵a＞1，所以最大值在sin x＝1时取到∴f（x）max＝﹣（1﹣a）2+a2＝2a﹣1．故选：B．【点评】本题考点是三角函数求最值，考查利用本方法求复合三角函数的最值，本题把内层函数看作一个整体，用到了整体的思想，作题时要用心体会此类题的做题脉络．第一步，配方，第二步，判断内层函数的值域，第三步判断复合函数的最值，最后求出最值．10．【考点】%H：三角形的面积公式．【解答】解：∵，∴＝，即+（﹣）+（﹣）＝，即3+＝，即3＝，∴∥并且方向一样，|BC|＝3|AP|，如果AP和AC夹角为θ，那么BC和AC的夹角也是θ，S△APC＝|AP|•|AC|sinθ，S△ABC＝|BC|•|AC|sinθ，所以S△P AC＝S△ABC．故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的加减法及其几何意义，体现了等价转化的数学思想．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：甲、乙、丙三人任意站成一排，基本事件总数n＝，甲站在两端包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲站在两端的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，平方可得1﹣2sinαcosα＝，解得sin2α＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．13．【考点】WE：用辗转相除计算最大公约数．【解答】解：①辗转相除法：1881＝1254+627，1254＝627×2．∴1254和1881的最大公约数为627．②更相减损术：1881﹣1254＝627，1254﹣627＝627，∴1254和1881的最大公约数为627．故答案为：627．【点评】本题考查了辗转相除法与更相减损术，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：∵，，∴＝+＝﹣，＝+＝﹣﹣，∴＝﹣++＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了平面向量基本定理，考查平行四边形的定义，是一道基础题．15．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于①，x＝2π时，f（2π）＝sin（﹣）＝0，∴x＝2π不是函数f（x）＝sin（x）的一条对称轴，①错误；对于②，∵68＝2×30+1×31+1×32+2×33，∴十进制数68（10）转化为三进制数是2112（3），②正确；对于③，函数f（x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x﹣），令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的增区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z，③错误；对于④，△ABC中，sin C＝2sin A cos B，∴sin（A+B）＝2sin A cos B，∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B，∴sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，∴A＝B，△ABC是等腰三角形，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了十进制数与三进制数的转化问题，是综合题．三、解答题（共5小题，满分40分）16．【考点】96：平行向量（共线）；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：（1）∵向量＝（2cosθ，sinθ），＝（1，﹣2），∥，∴，∴tanθ＝﹣4，∴＝＝＝2．（2）∵θ＝45°，∴＝（，），∴2﹣t＝（2，），+＝（3，﹣1），∵2﹣t与+垂直，∴（2﹣t）•（+）＝（2）×3+（）×（﹣1）＝0，解得t＝．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行、向量垂直、向量坐标运算法则、同角三角函数关系式的合理运用．17．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）根据题意，由表格中数据可得：＝＝3，＝＝30，则5＝450，52＝45，＝＝12，＝﹣b＝30﹣12×3＝﹣6，故所求的回归直线的方程＝12x﹣6；（2）如果企业要求该产品的销售额不少于36万元，则有y＝12x﹣6≥36，解可得x≥3.5；答：投入的广告费用应不少于3.5万元．【点评】本题考查线性回归方程的计算与应用，关键是掌握线性回归直线方程的计算方法．18．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）∵C、D是圆上的两个三等分点，∴∠AOD＝60°，∴与的夹角为120°，和的夹角为60°．∴＝﹣2．＝；（2）设P到AB的距离为d，则，∴d．连接CD，∵弦CD与直径AB的距离为，则P在CD弦上方的弓形内．记“△ABP的面积大于2”为事件M，则P（M）＝＝＝＝．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查几何概型概率的求法，是中档题．19．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数为：＝65．成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10＝0.4，成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10＝0.3，∴中位数为：70+×10≈73.3．（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，分别为：ab，ba，ac，ca，ad，da，ae，ea，af，fa，bc，cb，bd，db，be，eb，bf，fb，cd，dc，ce，ec，cf，fc，de，ed，df，fd，ef，fe，记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，则事件Q包含的基本事件有18种，∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P（Q）＝．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查众数、中位数、频数、概率、列举法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．20．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；H1：三角函数的周期性．【解答】解：（1）＝（），＝（8cos x，cos2x），f（x）＝•+m＝＝4sin2x+4cos2x+m+4＝8sin（2x+）+m+4，所以函数的周期为：T＝＝π．（2）x时，∴，∴，∴m ≤f（x）≤m+12，要使﹣3≤f（x）≤14恒成立，则∴﹣3≤m≤2．（3）f（）﹣m＝，∴8sin[2（）+]+m+4＝，∴sin A＝∵A∈（0，π）∴cos A＝，cos B＝，∴sin B＝，由于cos B＝，∴，∵，∴，由因为A+B＜π，∴，∴cos A＝，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝﹣＝【点评】本题考查三角函数化简求值，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．。