a 0 ，所以 p 0
轨迹 x 2 y 方法提炼
1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练工人 2．一元二次方程的系数含有虚数时， 判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。 3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的 形式是不同的。
巩固练习 1.若 2 3i 是方程 x2 mx n 0 (m, n R) 的一个解，那么 m __ 4 ， n ____ 13 2. 是方程 x2 x k 0 的虚数根，且 3，则 k _____ 5
2x 1 0 的根，则1
2 2
(1 i)
或 2

2 (1 i) 2
当1
2 2
(1

i)
时， 12
i,12n1
(12 )n 1
1 in 1
M 1
i 1 i 1

1
,
1
,
1
, 1



2 (1 i), 2
2i 自我测试 1.在复数范围内解方程 4x2 x 5 0 ，解集是_______ 1 79i
8
5
2.已知 a、b R ，若方程 2x2 3ax b 0 的一个根为 3 i ，则 ab ______ 80
3.已知一元二次方程 x2 (1 i)x a 2i 0 有实数根，则 a _____ 6
教学内容

（2）1 的立方根：1, 1 3 i,2 1 3 i, （ 3 1,1 2 0 ）
22
22
9．实系数一元二次方程 ax2 bx c 0 a,b,c R 且 a 0 在复数集中恒有
解．当判别式 b2 4ac 0 时，方程有实数解 x1,2 b
2 (1 i), 2
2 (1 i), 2
2 2
(1
i)

当2
2 2
(1 i) 时，有 M 2

M 2
3.设复数 z a bi (a 0,b 0) 是实系数方程 x 2 px q 0 的根，又 z 3 为实数，求点
( p, q) 的轨迹。
解： z a bi 实系数方程的根， z a bi 也是此方程的根。
6


3
，求
z1 、z2
的最大值与最小值
6
4.满足方程 z z i2009 的复数 z 有________个 0
5.方程 x2 2 2x m 0 的两个根为， ，且 3 ，求实数 m 的值 1 或17 44
6.若复数 z1、z2 是关于 x 的一元二次方程 tan x2 sin x cot 0 的两个根，且
b2 4ac ；当判
2a
别式 b2 4ac 0 时，方程有一对共轭虚根 x b 4ac b2 i ．
2a
2a
热身练习
1. 、 是一元二次方程 x2 6x 10 0 的根，则 ( )2 ______ 4
2.在复数范围内分解因式 4x2 x 5 ________ 4(x 1 1 79i)(x 1 1 79i)
源于名校，成就所托
高中数学备课组 日期 09-9-12 学生情况： 张三--------
教师 陶 丰 上课时间
班级高二 MiniA 班
学生张三（电话）、李四 （电话）、王五（电话）
李四--------
王五--------
主课题：复数
1
知识精要
8．复数的平方根与立方根： (1)利用复数相等求复数的平方根
(1)当 0 ，即 m2 3m 1 0 时， x1、x2 R
m R ，且
x1 x2

1 (m2 3
1)

0
x1 与 x2 同号
2
由
x1
x2
0
2
得
m2 2(m
3m 1 0 1) 2
m 0
(2)当 0 ，即 m2 3m 1 0 时， x1 与 x2 为一对共轭复数，得 x1 x2
例
3．设非零复数 z1、z2 满足100 z12

z
2 2

kz1 z2
k R ，并且 z2 是虚数。 z1
(1)求证： z2 10 z1
(2)若 k N * ，当 k 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数 z2 的和 z1
解：令 z2 x ，则原方程可化为 x2 kx 100 0 ， z1
2 3.在复数集内分解因式：(1) x4 x2 6 _________ (x 2)( x 2)( x 3i)( x 3i)
（2） x2 2x cos 1 _____ (x cos i sin )(x cos i sin)
4. 已知复数 z 1 i ，求实数 a、b 使 az 2bz (a 2z)2 。
备选例题 1.关于 x 的方程 x2 (2i 1)x 3m i 0 (m R) 有实根，求 m 的取值范围。
解：设实根为 t ，则 t 2 (2i 1)t 3m i 0 ，即 t 2 t 3m (2t 1)i 0
t
2
t 3m 2t 1 0
88
88
3.已知复数、 满足 2 且 1，则 23 23 ________ 2i ， 2i
4.方程 z z 3 z 4 0 的解集是________1
5.方程 x2 ix i 1 0 的两根为__________1、1 i
4
z z p zz q 2a p a2 b2 q z 3 (a bi)3 a3 3ab2 (3a 2b b3 )i 为实数( b 0)
3a2b b3 0 ，即 3a 2 b2
得 q 4a2 , p2 q ，
6.已知 a i(1 i)5 是实系数方程 x 2 px q 0 的根，则 pq ______ 1
(1 3i)3
2
精解名题 例 1．关于 x 的方程 3x 2 6(m 1)x m2 1 0 的两根的模的和为 2 ，求实数 m 的值。
解： [6(m 1)]2 4 3(m2 1) 24(m2 3m 1)
为根的实系数一元二次方程。
解：(1 2i) 4 3i
4 3i 2 i 1 2i
z 5 i 3i 2i
若实系数一元二次方程有虚根 z 3 i ，则必有共轭虚根 z 3 i
z z 6 ， z z 10
x2 6x 10 0
0
，得
m


1 3
(t 2

t)


1 3
(1 4

1) 2

1 12
，
m

1 12

2.对任意非零复数 z ，定义集合 M z | z 2n1, n N * ，设 是方程
x2 2x 1 0 的一个根，试用例举法表示集合 M a
解： 是 x 2
又 x1 x2 2， x1 x2 1， x1x2 x1 x2 1， x1x2 1
m132(m32m
1 0 1) 1
m 2
综上所述，得 m 0 或 m 2
例 2．已知复数 满足 4 (3 2)i （ i 为虚数单位）， z 5 2 ，求一个以 z
a 2,b 1或a 4,b 2
5.关于 x 的方程 x2 6x m 0 有一个虚根的模为 13 ，求实数 m 并解这个方程。
m 13, x 3 2i 6.求证：在复数范围内，方程 z 2 (1 i)z (1 i)z 5 5i （ i 为虚数单位）无解
3
k 2 400 0 ， x k 400 k 2 i 2
(1) x 1 k 2 (400 k 2 ) 10 ，即 z2 10 ，
2
z1
z2 10 z1
(2) k N * ， k 1,2,3,,19 因每个方程的两根之和均为 k ，故所求的和为1 2 3 19 190