对量子态叠加原理的讨论摘要：本文先介绍几位学者关于量子力学态叠加原理的不同表述，给出了物理和数学两方面的关于态叠加原理的讨论，并对其中的原因进行了分析和讨论并通过的适当的举例来阐明，并弄清量子态叠加原理的实质内容。
关键词：量子态；态叠加原理；量子力学基本问题；量子力学的诞生无疑是20世纪人类在科学发展史上取得的重大成就之一，对于人类的文明进步起了不可估量的作用。
量子力学是以几个基本原理（或假设）为基础发展起来的，它已经被人类实践证明是正确的。
但是作为量子力学基础的几个基本原理，人们对它们的认识和理解却很不统一，甚至存在严重分歧。
本文把人们对量子力学态叠加原理（一下简称态叠加原理）的有关观点进行分析、分析和讨论。
1学者们关于该原理的几种表述（1）狄拉克表述狄拉克在他1930年版出的第一版《量子力学原理》中提出“系统的态可以定义为受许多条件或数据所制约的未受干扰的运动……在实践上，这些条件可以通过适当的制备而加上去……态这一词可能用于指某一特定时刻的态，或者也可能用于指在制备郭晓恒以后全部时间的态。
为了区别这两种含义，在容易产生含混时我们将把后一种称之为运动态”。
关于叠加原理，狄拉克认为“每当系统是确定地处于一个态时，我们就把它看成是分别部分处于两个或更多的每一个”。
（2）曾谨言在他著的《量子力学 》中说：“更简单和更一般地说设体系处于1ψ所描述的状态下, 测量某力学量A 所得结果是一个确切的值a1, 又假设在Ψ2描述的状态下, 测量A 的结果是另外一个确切的值a2, 则在1122c c ψψψ=+ 其中（c1和c2是两个常数) 所描述的状态下, 测量A 所得结果可能为a1, 也可能为a2( 但不会是另外的值) , 而测得为a1 或a2的相对几率是完全确定的. 我们就称ψ态是 1ψ 态和2ψ 态的线性叠.（2） 喀心林的表述他在2000年出版的《高等量子力学》一书中把态叠加原理表述为“若1ψ和2ψ是粒子的两个可能的状态，则1122c c ψ=ψ+ψ也是粒子可能的状态”2 通过学习我对态叠加原理的认识（1）物理叠加型的状态叠加原理强调两个真正的物理状态碰到一起互相叠加产生干涉的现象既能处在由波函数 ψ1所表示的态中 ,又能处在另一个态 ψ2中 , 则它必定也能处在由如下波函数 ψ所表示的态中 :ψ= c 1ψ1+ c 2ψ2式中 c 1和 c 2一般是任意的复数. ” 这种表述的特点是强调参加叠加的两个态是粒子真能处于其中的态 ,布洛欣采夫说 “一个系统: 既能处在由波函数 ψ1所表示的态中 ,又能处在另一个态ψ2中”, 可见 ψ1和ψ2 应该不是随便写的两个函数 ,而是粒子真能够处在其中的两个状态. 它取决于粒子所处的外部环境 (必须是薛定谔方程的解) ,不是随便写一个函数就能描写粒子状态的. 布洛欣采夫表述说 ψ1和 ψ2都是粒子能处在其中的状态 ,那就是真实的状态 ,所以我们认为布洛欣采夫的表述是物理叠加型的状态叠加原理.物理叠加型的状态叠加原理是一个物理原理,是粒子客观运动的规律.如果ψ1和ψ2只是随便写的函数,粒子并不能真的处于这种状态中,那么这样表述就不成其为物理原理了.物理叠加型的状态叠加原理突出表现了波粒二象性中波性的一面. 波性一般有 : ①周期性 ; ②传播性 ; ③干涉性 ,即叠加性 ;④满足波方程. 对于量子力学中的波函数来说 ,周期性反映在时间因子上 ,而束缚态相当于驻波 ,前两项都不明显 ,主要是后两项. 叠加原理直接反映了波函数能够发生互相干涉的性质.拿一个电子来说 ,电子真能处于其中的状态也有很多种 ,这些状态都可以互相叠加吗 ? 例如氢原子的基态和谐振子的基态可以叠加吗 ?不行. 这两个态的外部环境不同 . 电子在氢原子核外面不能取谐振子的基态 ,在谐振子的弹性力场中也不能取氢原子的基态 ,所以这两个态碰不到一块儿 ,不能叠加.按布洛欣采夫表述的字面意思 ,是允许任何两个真实的态互相叠加呀 !是的. 这就是布洛欣采夫表述的毛病了“它必定也能处于ψ=c1ψ1+c2ψ2所表示的态中”这句话是不对的,作为一个物理原理不应该这样说.只有在外部环境相同时,两个态才能发生物理的叠加.应当在他的表述的前面加上例如“在相同的外部环境下”这一类的限制条件.不仅如此,外部环境相同的两个定态也不一定就能叠加.例如氢原子的基态和一个激发态也不能叠加成为一个定态.那这是为什么呢 ?是因为这两个定态的波函数加在一起不满足定态薛定谔方程 (两个本征值不同的本征函数加起来肯定不再是本征函数) . 所有能够实现的定态都应该满足定态薛定谔方程 .那么 ,布洛欣采夫表述有很大的毛病了.是的. 按我的分析 ,布洛欣采夫表述的立意是好的 ,但具体表述中毛病太多 ,主要毛病是往往忽略外部环境 ,所以这个表述很难说是一个真正的物理叠加型表述 . 应该对这种表述加以适当修改 ,才能成为一个好的物理叠加型表述. 状态叠加原理的物理叠加型表述 ,在某种意义上可以说是“薛定谔方程是线性微分方程”这句话的物理诠释和直接推论.线性微分方程的两个解的叠加仍旧是解.但是作推论时一定要用同一个微分方程,即哈密顿H相同(外部环境相同) .这时那我就又不明白了 . 当氢原子受到微扰时讨论它的一个受微扰的状态时 ,不是按照微扰论把那个态写成一系列未受微扰态的叠加吗 ? 这不是说明氢原子的一些不同能量的定态可以在氢原子的外部环境下互相叠加吗 ?这同我刚才说的话并无矛盾. 加了微扰之后 ,外部环境就改变了 ,已经不再是氢原子的外部环境了. 未受微扰的态在新的外界环境下并不能实现(电子不能真的处在这种态中 ,因为它们不是加了微扰的哈密顿的本征函数) ,这种展开是数学的展开 ,正是数学型叠加原理所说的情况 (见后面的狄拉克和朗道表述) .那么 ,在自由空间中许多能量不同的平面波叠加成波包 ,这是物理的叠加还是数学的叠加呢 ?这是物理的叠加 ,是在相同外界环境下的叠加. 波包不是定态 ,波包是许多含时平面波叠加而成的含时态 ,它满足含时薛定谔方程.这样说来 ,在氢原子内部不是也可以把两个能量不同的含时态叠加在一起吗 ?理论上应该是可以的. 好像没有人研究过这种含时的束缚态.因为这种含时态没有用处吗 ?部环境和相同能量的定态才能叠加了 ?是的 , 主要是同一能量的简并态之间的叠加. 有时 ,能量非常接近的几个定态也可以互相叠加成为哈密顿的近似本征态 .这里我可以举两个例子：电子的双缝衍射就是一个例子，这时同一个哈密顿的定态薛定谔方程，边界条件不同的两个解的叠加。
电子的自旋态的叠加也是一个例子。
这真是一个经典观念完全不能理解的奇妙现象 ! 可是 ,您不是说在相同的外界条件下 ,能量不同的态不能叠加吗 ? 为什么现在在碳原子实的外部环境中 ,s 态和 p 态又能叠加了 ?碳原子的外层电子是在原子外部有可结合的原子存在时 ,才取杂化态的. 因为取了杂化态并与外部原子结合 ,系统的能量可以降至最低 (所有物理系统都倾向于取能量最低的稳定态) . 这时碳原子实的内部环境也已经有所改变. 况且 ,这类实际问题的讨论 ,都是带有一定的近似性的.哦 ,原来是这样. 不过之前我总觉得 ,只限于同环境同能量的定态叠加 ,物理叠加型的状态叠加原理在量子力学中的应用空间终究还是不太大 ,学完叠加原理后 ,好像在以后的学习中没有再用过.作为一门学科主要的物理原理 ,其作用并不在于直接应用 . 它的作用在于揭示根本性的客观规律. 物理叠加型的状态叠加原理揭示了微观粒子的波粒二象性的主要特征 ,我觉得这才是物理叠加型的状态叠加原理的重要意义所在. 我认为物理叠加型的状态叠加原理在量子力学中够一个基本原理的资格它反映了微观粒子的波粒二象性 ,它说明微观粒子的波函数可以叠加 ,可以发生干涉现象. 这是微观世界中最重要的性质 ,是量子力学的核心内容 . 认识到微观粒子的状态可以叠加 ,人们才进一步提出了用矢量空间 (希尔伯特空间) 中的矢量来描写微观状态的完整的量子力学理论. 在有一些公理式写法的量子力学教材中 ,为了减少作为出发点的公理的数目 ,常常把这种类型的叠加原理包含在“状态用希尔伯特空间中的矢量来描写”和“薛定谔方程是线性的”的表述之中 ,而不作为一条独立的原理对待 (在席夫的《量子力学》中甚至全书通篇未提状态叠加原理这六个字) . 当然 ,从逻辑上说 ,不把它作为独立的基本原理 ,而把它包含在其他的基本原理之中也不是不可以 ,但我总觉得作为一个基本原理 ,突出其物理性质要比突出其数学性质更好一些.（2）第二种是数学叠加型的表述 ,叠加时不考虑物理条件 ,不考虑电子是否真能处于那个状态 ,只是把两个波函数加起来 ,也不问加起来的结果是否能够真的实现. 其代表性的表述是狄拉克和朗道的表述. 狄拉克在他的书[3 ]中用了整个第一章讲状态叠加原理,我们把重要的内容摘录如下:“量子力学的普遍叠加原理,适用于任何力学系统的态,……这个原理要求我们确定,在这些态之间存在着特殊的联系,以至于每当系统是确定地处于一个态时,我们就能把它看成是分别部分地处于两个或更多的态中的每一个.原来的态必须被看成是两个或更多的新态的某种类型的叠加的结果.……反过来,任何两个或更多个态可以被叠加起来产生一新的态.……这个过程是一数学过程,它总是可以允许的,这一点不涉及任何物理条件.”[3 ]又说“我们研究:A与B两个态的叠加,对这两个态的要求是,存在着一种观察,它作用于处在A态的系统时一定得到一个特定的结果,例如就是 a .当我们把这种观察作用于处在B态的系统时,一定得到某一个不同的结果,例如就是 b.当我们把这种观察作用于处在叠加态的系统时……观察的结果将有时为a ,有时为 b ,按照由叠加过程中A与B的相对权重所决定的概率规律而定.除了a与b外,永不会有其他结果.”[3 ]朗道和栗弗席茨的书[4 ]对状态叠加原理的表述是“设在波函数为:ψ1( q)的态中进行某种测量,可以获得可靠的肯定结果(称为结果 1) ,而在ψ2( q)的态中进行这种测量也可以获得可靠的肯定结果 2.那么可以假定,在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中,即在任一具有c1ψ1+ c2ψ2函数形式(其中c1和c2为常数)的态中,进行该种测量所得结果或者是 1 ,或者是 2.此外,还可进一步假定只要以上两个态的时间依赖关系是已知的,也就是一个由函数ψ,另一个由函数ψ2( q , t)给出,那么,它们的任1( q , t)给出一线性组合也给出了这个组合态的可能的时间依赖关系.以上这些假定,构成了量子力学的一个首要原理,称为状态叠加原理.”狄拉克的表述 (上面第二段引文) 写得非常严谨、准确而全面 ,而朗道的表述则粗糙得多.数学叠加型的表述不要求叠加时外部环境相同.物理叠加型的表述讲的是两个真实的物理状态叠加成一个真实物理状态 ,而狄拉克和朗道表述讲的是一个真实物理状态的数学分解 ,即将一个实际的物理状态的波函数按某个物理量的本征函数的展开. 狄拉克明确指出 ,这是数学的叠加 ,不要求电子真的能够处在那些态中 ,就是不要求在相同的环境中. 这是数学型的表述 ,它和物理型表述的内容完全不同.数学叠加型的状态叠加原理会构成另一个物理原理吗 ?是的. 这是在真实的物理状态中各种物理量取值概率的规律 ,这是一个新的物理规律 ,是量子力学的又一个基本原理 . 数学叠加型的状态叠加原理和物理叠加型的状态叠加原理完全不是一回事 ,在许多量子力学教材中 ,常常把这种数学叠加型的表述放入关于算符的基本原理中 ,而不称其为叠加原理.3分析：我们再回过头来看一下布洛欣采夫的表述，布洛欣采夫的表述转入多个态的叠加 ,他写道 ;“由此得知 ,如果系统有一系列可能态 ,这些态因某量 (动量、能量、角动量等等) 的值之不同而彼此不同 ,并分别由波函数ψ1,ψ2,…表示,则按照叠加原理,必然存在着一个复合态ψ= c1ψ1+ c2ψ2+…+ cnψn……一个重要的例子是把任意波场ψ( x , y , z , t )表示成德布罗意波的叠加,……”.这不是跑到了狄拉克和朗道表述去了吗?按照我们对布洛欣采夫表述的理解 ,他是在说物理态的叠加 ,所以我们才把他的表述算作物理叠加型的. 若是他果真强调物理的叠加 ,他就不该在他的表述之后立刻写出上面那段话的.这段话说的不是物理叠加 ,而是数学叠加了 ,这就同狄拉克和朗道表述一样了 . 也许我们把布洛欣采夫理解错了 ,我们自以为是地认为他是在强调物理的叠加 ,说不定人家本来就没有刻意强调物理的叠加 ,只是讲一般的叠加 ,所以才常常忽略外部环境 .如果事情真是这样 ,他在他的表述后面紧接着写上面那段话就可以理解了 ,而我们把他的表述归入物理叠加型的叠加原理这一点也就值得考虑了. 布洛欣采夫表述与狄拉克和朗道表述的区别也就谈不上了.布洛欣采夫在写完那段话之后 ,紧接着去讲动量概率 ,完全走上了狄拉克和朗道的道路.狄拉克讲两个态的叠加讲得很仔细 . 他举了两个实验现象用来引入状态叠加的概念 ,一个是光的偏振态 ,另一个是光通过迈克耳孙干涉仪的干涉.他拿光举例子，而量子力学是不研究光的性质 ,我很不赞成他这样做.光固然也有波粒二象性 ,但它不是有质量的微观粒子 ,光有它自己的规律 ,不是量子力学的研究对象. 特别是光的偏振 ,偏振是横波特有的性质 ,量子力学中根本没有偏振这个概念. 用光的行为引入量子力学的基本原理 ,在物理上和逻辑上都是讲不通的 .他说 :光在一个斜的方向上的偏振 ,可以分解为在x方向上的偏振和在y方向上的偏振,可以说光处在斜方向上的偏振态,也可以说这个光是部c1ψ1+ c2ψ2.他说:处在ψ态的粒子部分地处在ψ1态,部分地处在ψ2态.什么叫部分地处在ψ1态?“部分地”一词英文原文是 parity. 部分地处在某偏振态还勉强可以理解 ,部分地处在某量子态实在无法理解 . 正如一个人“部分地处在惊愕状态 ,部分地处在欣喜状态”可以理解 ,而这个人“部分地处在教室 ,部分地处在饭厅”不可理解一样.你就说“粒子处在ψ态,ψ是ψ1和ψ2的叠加态”不就完了?此外 ,在朗道和栗弗席茨的表述中 ,后面所加的那一段“此外: ,还可进一步假定 :只要以上两个态的时间依赖关系是已知的 ,也就是一个由函数ψ1( q , t)给出,另一个由函数ψ2( q , t )给出,那么,它们的任一线性组合也给出了这个组合态的可能的时间依赖关系.”也是有问题的.为什么这么说呢？这个说法对于在相同外部环境下的叠加是对的 ,但对于一般的数学型的叠加则是不对的.为什么 ?我举一个反例你就明白了. 设想粒子处在一个束缚态的定态中 ,例如氢原子的基态 ,在t = 0 时展开为许多平面波的叠加,双方用等号联系起来.现在让时间开始增加,等号左右两边各自按自己的演化规律变化,等号肯定不再成立.那为什么 ?每个态的时间演化规律取决于自己的哈密顿 ,等号两边的哈密顿是不一样的.我明白了. 朗道可能以为含时薛定谔方程是线性的 ,所以两边应该相等 ,但忘记了等号两边所满足的方程的哈密顿是不一样的.又是忽略了外部环境.最大的收获是不能随便写一个函数就说是粒子的量子状态 .参考文献狄拉克.量子力学原理[M].陈咸亨译。