第5章 应力状态分析
5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。

试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；
2．垂直于木纹方向的正应力。

图
1
解：平行于木纹方向切应力
6.0))15(2cos(0))15(2sin(2
)
6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=
''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力
84.
30))15(2cos(2
)
6.1(42)6.1(4-=+︒-⨯---+-
+-=
'x σMPa
5-2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。

试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

x
=
图
2
解： 叠加[]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa
1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ 主应力0
MPa 0MPa 100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=⎭⎬⎫σσσ
面内及该点：502
1002
||||3
1max max
=-=
-=='σσττMpa
5-3 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。

试求应力分量x σ、y σ和xy τ。

解：ασα
ασσσ2000cos 2
2cos 10))(2cos(2
2
=+=
+-⨯+
=
x ασσα
σσσ2000sin 2
2cos 1=-=
-=x y
(a) 习题5-3图
习题5-5图
(a)
(b)
(b)
(a)
(a-1) (b-1)
α
σ
α
σ
τ2
sin
2
))
(
2
sin(
2
0-
=
-
⨯
=
xy
5-4 受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p
解：应力圆半径p
p
r2
60
sin
3
=
︒
=
p
p
p
r
p
OC3
2
1
2
2
60
cos
2=
+
=
︒
+
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
-
=
=
+
=
5
3
2
1
σ
σ
σ
p
r
OC
p
r
OC
5-5 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。

图中应力的单位为MPa。

习题5-7图
解：图（a）：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎩
⎨
⎧
=
-
⨯
+
-
±
+
=
M P a
90
MPa
50
MPa
390
)
150
(
4
)
140
300
(
2
1
2
140
300
2
2
2
3
1
σ
σ
σ
170
2
50
390
max
=
-
=
τMPa
图（b）：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
⎩
⎨
⎧
-
=
-
⨯
+
-
±
+
=
M P a
90
MPa
50
MPa
290
)
150
(
4
)
40
200
(
2
1
2
40
200
3
2
2
2
1
σ
σ
σ
190
2
)
90
(
290
2
3
1
max
=
-
-
=
-
=
σ
σ
τMPa
习题5-6图
习题5-7图
5-6 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力max τ＜160MPa ，试求xy τ取何值。

解：1．当半径r ＞OC
2
1402404)140240(212
2+>+-xy τ 即 >||xy τ183.3MPa 时
（1）
⎩⎨⎧+-±+=2
23
14)140240(212140240xy τσσ 16041002
122
23
1max <+=
-=xy τσστ 解得||xy
τ<152MPa
（2）
由（1）、（2）知，显然不存在。

2．当r ＜OC
2
1402404)140240(212
2+>+-xy τ 即 ||xy τ＜183.3MPa 时
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-++=
04)140240(2
1214024032
21στσxy 16041004
1438022
231max <++=-=xy τσστ 解得||xy τ＜120MPa
所以，取||xy τ＜120MPa 。

9.2669.126140-=--=OC MPa 9.2662
)
140(-=-+y σ
8.393-=y σMPa
5-7 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。

缸体材料为钢，E = 205GPa ，ν= 0.30。

试求当内压p = 10MPa 时，液压缸内径的改变量。

解：缸体上 0=轴σ 11522)
450(10=⨯-⨯=环σMPa
10-=径
σMPa
mm 1065.2)2250)](100(3.0115[10
2051
23
-⨯=⨯---⨯=
∆内d
5-8 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E 、ν，且由实验测得x ε和y ε。

试证明： 2
1ννεεσ-+=y
x x E
21ννεεσ-+=x
y y E
)(1y x z εεν
ν
ε+--= 解：)(1y x y x E
εενσσ+-=+ （1） )(1y x y x E
εεν
σσ-+=- （2）
（1）＋（2），⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+-=2
212122v v v E y x
x εεσ （1）－（2），⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=2212122v v v E y x
y εεσ
∴ 21v v E y x x -+=εεσ，21v v E x
y y
-+=εεσ )(1)(1)(y x y x y x z E E E εεν
ν
εεννσσνε+--=+-⋅
-=+-=
5-9 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。

（A ）微元形状可以是任意的；
（B ）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；
（C ）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；
（D ）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。

正确答案是 D 。