第5章 弯曲应力思考题5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?答 不一定。
最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。
5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q 作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？答 若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。
5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。
设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量，则该梁沿高度方向正应力分布为图a ，b ，c ，d 中哪一种。
w E E s >思考题5-3图答 (b)5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a 中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b 中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。
从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？思考题5-4图答 (a)5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值AW来衡量截面形状的合理性和经济性。
比值AW较大，则截面的形状就较经济合理。
图示3种截面的高度均为h ，请从AW的角度考虑哪种截面形状更经济合理？思考题5-5图答 (c)5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。
若各图中阴影部分面积相同，中空部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？思考题5-6图答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）5-7 弯曲切应力公式*S zz F S I bτ=的右段各项数值如何确定？答 为整个横截面上剪力；为整个横截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力所在位置横截面的宽度；为横截面上距中性轴为y （所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。
S F z I *z S5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？ 答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。
习 题5-1 钢丝的弹性模量。
比例极限GPa 200=E MPa 200p =σ，将钢丝绕在直径为2 m 的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？解 由卷筒直径得钢丝曲率半径 m 1=ρp 22σρρρεσ≤==⋅==Ed dE yE E mm 2m 1021020010200122396p =×=××××=≤−E d ρσmm 2max =d5-2 两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。
若已知两横截面面积相等，且22D d =53。
试计算它们的最大正应力之比。
解32π31max1max max 1D M W M ==σ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==42232max2max max 2132πD d D M W M σ 32π132π3142232max 2max 1D D d D ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=σσ （a ）由 ，21A A =5322=D d 得()2222214π4πd D D −= 2222222222221541⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=D D d D d D D2154D D =代入式（a ）得1017212221max 2max 1=++=D D d D σσ5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。
试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。
(a ）(b)解 ，0=∑A M kN 64.7=B F ()↑ ，0=∑y F kN 36.3=AF ()↑作弯矩图（b ），危险截面分别为C ，B ，且 ，m N 3441⋅=C M m N 900⋅=B M3π32D M W M C C C C ==σMPa 4.631060π1344329-3=×××= ()MPa 0.62604511060π900321π3249-343=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−×××=−==ασD M W M B B B B 故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为。
MPa 4.635-4 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。
求截面m-m 和固定端截面n-n 上A ，B ，C ，D 四点处的正应力。
解 对截面m-m 及n-n ，都给以坐标系如图所示。
于是有 ； m 015.0−=−=D A y y 0m,100.0==C B y y 截面m-m 及截面n-n 的弯矩分别是； m kN 02⋅=m M m kN 5231520⋅−=×−=n M 横截面对轴z 的惯性矩4633m 10405300.0180.0121121−×=××==bh I z 各点的正应力分别是MPa 41.7N/m 1041.710405)150.0(1020663−=×−=×−××=−=−−mD mAσσ MPa 94.4)41.7(150.0100.0=−×−==mA A B mB y y σσ 0=mCσMPa9.26N/m 1026.910405)150.0()1025(3663=×=×−××−==−=−z A D nDnA I y M σσMPa 18.626.9150.0100.0−=×−==nA AB nBy y σσ，0=nC σ5-5 一外径为，壁厚为，长度mm 250mm 10m 12=l 的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图(a)所示。
铸铁的密度，水的密度。
求管内最大拉、压正应力的数值。
331kg/m 1070.7×=ρ332kg/m 101×=ρ(a) (b)解 将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图(b)所示。
其中荷载集度q ，为单位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即])2(4π)2([4π22122g D g D D q ρδρδ−+−−==322108.970.7])010.02250.0(250.0[4π××××−− 4π+kN/m 760.9109.80.010)2(0.25032=×××−× 均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩m kN 6.1712976.0818122max ⋅=××==ql M水管的弯曲截面系数]2(1[32π43D D D W z δ−−==]25.023.0(1[25.032π43−××= 34m 104.35−×最大拉压正应力43max max1035.4106.17−××==z W M σ= MPa 40.45-6 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图(a)所示。
已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170 MPa 。
求梁的许可载荷F 。
32(a) (b)解 由已知结构载荷对称，得图(b)。
F F M B 3223=×=，F F F M C 42423=×−×= F M 4max =[]66max 1017010328.34024×=≤××==−σσF W M kN 28.9N 109.283=×≤F5-7 一重量为的均质钢条，长度为l ，截面宽为b ，厚为t ，放置在刚性平面上如图。
当在钢条一端用力P 3PF =提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a 及钢条内的最大正应力。
解（1）0=∑C M ,0212=−qa Fa ，3P F =，lP q = 即 02132=⋅−a l P Pa ，l a 32=（2）()222321x l P x P qx Fx x M −=−=，()0=′x M 03=−x l P P ，32=x183213332Pl l l P l P l M =⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅−⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 22max 366183t Pl bt PlW l M ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=σ5-8 型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。
若材料的拉伸许用应力⊥[]MPa 40t =σ，压缩许用应力[]MPa 160c =σ，截面对形心轴的惯性矩， =9.64 cm ，求该梁的许可载荷F 。
C z 4cm 18010=C z I 1h(a)(b)解 F M A 8.0=[]c 22c 8.0σσ≤==CC z z A A I Fh I h M []kN 6.132106.1538.01016010101808.03682c =×××××=≤−−h I F C z σ []t 11t 8.0σσ≤==C C z z A A I Fh I h M[]kN 8.52104.968.0104010101808.03681t =×××××=≤−−h I F C z σ []t 22t 6.0σσ≤==C C z z C C I Fh I h M[]kN 3.44106.1538.0104010101806.03682t =×××××=≤−−h I F C z σ 比较以上结果得[]kN 3.44=F5-9 一铸铁梁如图a 所示。
已知材料的拉伸强度极限b σ=150 MPa ，压缩强度极限bcσ=630 MPa 。
求梁的安全因数。
(a) (b)解 弯矩图(b)。
求横截面形心主惯性轴Oz 的位置，以下底边为参考轴有140160200160120160140100200160×−×××−××=b =mm 53.2横截面对轴z 的惯性矩2001602001601213×+××=z I ×−−×121)2.53100(23160140×(160140××−2)2.1380−=4547m 1090.2mm 1090.2−×=×（1）求可能危险截面C 所需的安全因数。
C n 截面C 在正弯矩m kN 12⋅=C M 作用下，上部受压，下部受拉，其中76.22.532.53200maxt max c =−=y y76.220.4150630b c b >==σσ 所以，截面C 将由于拉应力先达到强度极限间破坏。