当梁上的外力（包括约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以 及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
q(x) FP2
M1
FP4
M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数 或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁 上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和 弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。
材料力学
基础篇之五
第5章 梁的剪力图与弯矩图
第5章 剪力图与弯矩图
工程中的梁与梁的力学模型
梁横截面上的内力——剪力和弯矩 描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法 应用力系简化方法确定横截面上的剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 结论与讨论
抛物线
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 FQ
q>0
dFQ dx q0
FQ qx C
x
d2M q >0. 2 dx
x
M
1 M qx 2 Cx D 2
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 FQ
q<0
dFQ dx q0
dM FQ =const. dx
x
M Cx D
M
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
FQ const.=C
q=0
dFQ dx q0
x
dM FQ =const. dx
M Cx D
M
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
例题 2
A
q
B
l
一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称 为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为 q的均布载荷作用，梁的长度为l。 试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 剪力图与弯矩图
FQ qx C
x
d2M q <0. 2 dx
x
M
1 M qx 2 Cx D 2
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
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第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时 梁的横截面上只有剪力 FQ和弯矩 M两种内力分量。 表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称 为剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图 （diagram of bending moment）。
外伸端 固定铰支座 辊轴支座 外伸端
C A l2 l1 B l3 D
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型
外伸端
C
固定铰支座
A l2 l1
辊轴支座
B 外伸梁（一端外伸）
第5章 剪力图与弯矩图
0 x 2l
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
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第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
y
q
O
FRA
x
A C B
ql FQ x ＝- +qx 2
l
l
FRB
ql qx 2 M x ＝- x+ 2 2
将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
y q O
FRA A B
x
解： 4 ．确定剪力方 程和弯矩方程 对于坐标为 x 的截面，将其 左侧的均布载荷和约束力向 右侧简化，得到该截面上的 剪力方程和弯矩方程：
x
l
FRB
q
M(x)
q
FRA
x
l－x
FQ(x)
FRB
ql ql qx 2 FQ x ＝-FRA qx＝- +qx M x ＝- x+ 2 2 2
第5章 剪力图与弯矩图
q(x)
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
M
M+d M
FQ qdx FQ dFQ 0
M M dM FQ dx qdx
0
C
FQ FQ+ dFQ
dx
dx 0 2
2
略去高阶项，得到
dFQ dx
q
dM FQ dx
d M q 2 dx
FA= FP
A
MO=2FPl F = F FP Q P
B C l
M=-FPl
l
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩 MA=0
A l
MO=2FPl
C l
FP
B
FA= FP M=0 MO=2FPl
A l C l
FP
B
MO=2FPl M=FPl
A l C l
FP
B
FQ= FP
FQ= FP
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
第5章 剪力图与弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
FQ ＋ ○ FQ FQ － ○
FQ
第5章 剪力图与弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
M －
M
+ +
－ M
＋ ○
M － ○
－
+ +
－
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x) FP2 M1 FP4
FQ
C
FQ+ dFQ dx
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
考察微段的受力与平衡
q(x)
ΣFy=0:
FQ qdx FQ dFQ 0
ΣMC=0:
M
M+d M
C
FQ FQ+ dFQ dx
M M dM FQ dx qdx
dx 0 2
悬臂梁在 B 、 C 两处分别承受集中力 FP 和集中力偶 M ＝ 2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
MO=2FPl
MA
A l
FQ F P= FP
B l
MO=2FPl
C l
FP
B
A l
C
M=0
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图 大体相似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ - x 和M – x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯 矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯 矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（悬臂梁）
固定端 A l 自由端 B
FP
A B
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
dFQ dx
q
dM FQ dx
d2M q 2 dx
根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知 内力FQ 、M 的变化规律。 例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷， 则有 dFQ q const. , FQ qx C 斜直线 dx
dM 1 FQ qx C , M qx 2 Cx D dx 2
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
q(x) FP2 FP4 M2
M1
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的 剪力和弯矩
FP2 M1 FQ q ( x) FP4 M2
FP1
FP3
FP5
y
M1 x FP1
M
F ＝0， M＝0
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这 一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此 ，下列截面均可为控制面：
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
杆件内力变化的一般规律
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件 上的外力相平衡；
q(x) FP2 M1 FP4 M2
FP1
FP3
FP5
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.
第5章 剪力图与弯矩图