专题三 不等式的证明 （柯西不等式）1．下列不等式的证明明过程：①若a ，b ∈R ，则 ②若x ，y ∈R ，则；③若x ∈R ，则；④若a ，b ∈R ，ab ＜0，则．其中正确的序号是 ． 2．设a ，b ∈R +，a+b=1，则+的最小值为（ ）A.2+B.2C.3D.3．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则与的大小关系为 ．4．已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=0，abc ＞0，则++的值（ ） A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定 5．若不等式（﹣1）na ＜2+对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[﹣2，）B.（﹣2，）C.[﹣3，）D.（﹣3，） 6．设a ，b ，c ∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是①都不大于﹣2 ②都不小于﹣2 ③至少有一个不小于﹣2 ④至少有一个不大于﹣2．7．定义在R 上的函数f （x ）=mx 2+2x+n 的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m ，n 都有不等式恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.2013B.1C.D.8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，A=，B=，则（ ）A.A ＞BB.A ＜BC.A≥BD.A≤B9．设正实数x y z 、、满足04322=-+-z y xy x ，则当取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ）10．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x , ）A ．0B ．1CD ．311．（2012•湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则=（ ）A. B. C. D.12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ）A. B.3 C.4 D.513．若23529x y z ++=，则函数 ）14．对任意正数x ，y 不等式（k ﹣）x+ky≥恒成立，则实数k 的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.415．已知x 2+4y 2+kz 2=36，且x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（ ） A.1 B.4 C.8 D.916．设x 、y 、z 是正数，且x 2+4y 2+9z 2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z 等于（ ） A. B. C. D.17．已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A.2 B.2 C.2 D. 318．实数a i （i=1，2，3，4，5，6）满足（a 2﹣a 1）2+（a 3﹣a 2）2+（a 4﹣a 3）2+（a 5﹣a 4）2+（a 6﹣a 5）2=1则（a 5+a 6）﹣（a 1+a 4）的最大值为（ ）A.3B.2C.D.119．设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a b cx y z＋＋＋＋等于( )．A.14B.13C. 12D.34参考答案1．③、④．【解析】试题分析：依次分析4个命题：a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．当x=，y=时，检验②不正确，利用基本不等式可得③④正确，综合可得答案．解：当a，b∈R且 a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．当x=，y=时，lgx 和lgy 都等于﹣lg2，小于0，故②不正确．∵||=|x|+||≥2=4，故③正确．若a，b∈R，ab＜0，则，故④正确．故答案为③、④．点评：本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题．2．D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．3．＜．【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论．解：﹣==．因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以，a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，又﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即 ac＜bd，则 bd﹣ac＞0，所以（b+a）（b﹣a）﹣（bd﹣ac）＜0，所以，﹣=＜0，即＜．故答案为＜．点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键．当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系．4．A【解析】试题分析：因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数．把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断．解：∵a+b+c=0，abc＞0，∴a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设a＞0，b＜0，c＜0．由a+b+c=0得a=﹣（b+c）代入得，++=﹣++，∵[（﹣b）+（﹣c）]（）≥4，∴，即，∴≤=＜0，故选A．点评：本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断a，b，c的符号．5．A【解析】试题分析：对n进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决．解：当n为正偶数时，a＜2﹣恒成立，又2﹣为增函数，其最小值为2﹣=∴a＜．当n为正奇数时，﹣a＜2+，即a＞﹣2﹣恒成立．而﹣2﹣为增函数，对任意的正整数n，有﹣2﹣＜﹣2，∴a≥﹣2．故a∈[﹣2，）．点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题．6．③【解析】试题分析：因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a++b++c+≤﹣6，再假设三个数都小于﹣2，则a++b++c+＜﹣6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于﹣2．解：因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a++b++c+≤﹣6假设三个数都小于﹣2则a++b++c+＜﹣6所以假设错误所以至少有一个不小于﹣2故正确的序号为③，故答案为：③．点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题．7．A【解析】试题分析：根据已知条件可以得到m＞0，mn=1，n＞0．由已知的不等式可得：只要让小于等于的最小值即可．因为m，n＞0，所以有=，所以只要求的最大值即可，所以只要求m2+n2的最小值即可，根据m2+n2≥2mn=2知m2+n2的最小值为2，这样即可求出的最小值为1，所以，所以就能得到a的最大值了．解：定义在R上的函数f（x）=mx2+2x+n的值域是[0，+∞）；∴m＞0，，∴mn=1，∴n＞0；∴=；∵m2+n2≥2mn=2，∴2+m2+n2≥4，∴；即的最大值为1；∴，即的最小值是1；∴，∴a≤2013，∴实数a的最大值为2013．故选A．点评：考查二次函数：y=ax2+bx+c值域的求法，利用基本不等式：a+b，a2+b2≥2ab求最值．8．A试题分析：由题意得 c ＜a+b ，故 B==＜，变形后再放大，可证小于 A ．解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴c ＜a+b ， ∴B==＜==+＜+=A ，∴B ＜A ， 故选 A ．点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式． 9．B 【解析】试题分析：，y x 2=时等号成立，代入已知得2y z =，则222=422(1)22x y z y y y +--=--+≤。

10．B【解析】 ，当且仅当y x 2=时成立，因此22222464y y y y z =+-=，所以考点：（1）基本不等式的应用，（2）利用二次函数求最值。

11．C 【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可． 解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax+by+cz ）2， 当且仅当时等号成立∵a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20， ∴等号成立 ∴∴=点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．12．C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数y=≤•，从而求得函数的最大值．解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．13．C【解析】试题分析：由柯西得不等式，122≤+++++++=+++=+=，x y z x y z(111)(223456)3(23511)3(2911)120C.考点：柯西不等式.14．A【解析】试题分析：根据题意可得（k﹣）x+ky≥2，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，可得2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0，由此求得k的最小值．解：由所给的选项可得k≥1，∵（k﹣）x+ky≥2，x、y都是正实数，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，∴2≥，∴2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0．解得k≤﹣（舍去），或k≥1，故k的最小值为1，故选：A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．D【解析】试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，即 36（1++）≥（x+y+z）2．再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．16．A【解析】试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．17．C【解析】试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．解：∵x、y、z是正数，∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，∵x+y+z=2，∴++≤=2，∴++的最大值是2．故选：C．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．18．B【解析】试题分析：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，是解题的关键．19．C【解析】柯西不等式，(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)等号成立的条件是ax＝by＝cz.又a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，∴(ax＋by＋cz)2＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)，因此ax＝by＝cz＝12，故a b cx y z＋＋＋＋＝12.。