广义坐标vA 。(Rr)
A
vA r
R r
r
M1-16
T
1 2
JO&2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
J AA2
1 2
1 3
P g
(R
r)2&2
1 2
Q g
(R
r)2&2
1 2
1 2
Q g
r2
(R
r)2 r2
&2
1 2P 9Q (R r)2&2
12 g
W ( ) M
Q
W ( )
M
T&
1 6
2P
得
(m1 m2 )&x&1 m2l&&cos m2l&2 sin 0
M1-14
同理：
T& m2l2& m2lx&1 cos
T
m2lx&in
d dt
T x&1
m2l(l&&
cos &x&1
x&1&sin )
由拉格朗日方程d
dt
(
T q&k
)
T qk
Qk
得
m2l(l&& cos&x&1 x&1&sin) m2gl sin
)
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位
置）
V m2gl(1 cos)
求导运算可得：
T x&1
(m1
m2
)
x&1
m2l&cos
T x1
0
Qx1
V x1
0
d dt
T x&1
(m1
m2 )&x&1
m2l&&cos
m2l&2 sin
由拉格朗日方程ddt
(
T q&k
)
T qk
Qk
zi q j
)
或
Qj
W ( j) qj
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的 函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
5. 求出上述一组微分方程的M积1-9分。
[例] 物块C的质量为m1，A，B两 轮皆为均质圆轮，半径R，质量为 m2，求系统的运动微分方程。
解：图示机构只有一个自由度，所
M1-15
[例] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可 绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定 大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度，
所受约束皆为完整、理想、
定常的，可取OA杆转角 为
惯性虚功项，使之与系统的动能的变化联系起来。
n
(Fi
i1
mi
&r&i )
ri qk
0
k 1, 2, L N
M1-2
变换
1.
ri qk
r&i q&k
2.
d dt
ri qk
r&i qk
3.
n i1
mi&r&i
ri qk
n
mi
i1
d dt
r&i
ri qk
n
mi
r&i
d dt
i1
ri qk
受约束皆为完整、理想、定常
的，以物块平衡位置为原点，
取系统x 势为能广：义坐标。
(以弹簧原长为弹性势能零点)
V
1 2
k ( 0
x)2
m1gx
M1-10
系统动能：
T
1 2
m1x&2
1 2
J BB2
1 2
J IA2
1 2
m1x&2
1 2
1 2
m2 R 2B2
1 2
3 2
m2 R 2A2
m1 2m2 x&2 2
态和相互作用等性质的特征函数。 保守体系的拉格朗日方程为：
d dt
(
L q&k
)
L qk
0
想一想：上式的成立、适用条件是什么？
M1-6
3. 对拉格朗日方程的评价
(1) 拉氏方程的特点（优点）： 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度 相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数 作 方广程义中坐不标出，现方约程束形反式力不，变因。而在建立体系的方程时， 只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。 体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数 也 ➢ 拉越氏少方，程问是题从也能就量越的简角单度。来描述动力学规律的，能量 是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方 程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性， 成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。
Fiz
zi qk
n i1
V xi
xi qk
V yi
yi qk
V zi
zi qk
V qk
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程
将Qk代入拉格朗日方程式，得
d dt
(
T q&k
)
T qk
V qk
0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L(qk , q&k , t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状
i1
pk
T q&k
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
M1-4
2. 保守体系的拉格朗日方程
如果主动力都是保守力F，即 V ，则为广义力
Qk
n i 1
r Fi
rri qk
i
n 1
Vrri
rri qk
V qk
Qk
n i1
r Fi
rri qk
n Fix
i1
xi qk
Fiy
yi qk
n i1
mi
d dt
r&i
q&r&ik
n i1
mir&i
r&i qk
d dt
n i1
mi
r&i
q&r&ik
qk
n
1 2
mi
r&i
r&i
i1
d dt
q&k
n i1
1 2
mivi2
qk
n i1
1 2
mivi2
d dt
T q&k
T qk
M1-3
由
Qk
n i1
自然长度位置， 逆时针
转向为正。
M1-19
系统动能：
vB2 ( x& l&cos )2 (l&sin )2 x&2 l2&2 2x&l&cos
T
1 2
m1x&2
1 2
m2vB2
1 2
m1x&2
1 2
m2 (x&2
l 2&2
2 x&l&cos )
1 2
(m1
m2 )x&2
1 2
m2l 2&2
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价 (2) 拉氏氏方方程程的在价理值论上、方法上、形式上和应用上 用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律， 为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方 法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值， 而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数 学技巧。
M1-8
m2 x&l&cos
M1-20
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点， 滑块A所在平面为重力势能零 点)
V
1 2
kx2
m2gl cos
拉格朗日函数：
L T V
1 2
(m1
m2
) x&2
1 2
m2l 2&2
m2 x&l&cos
1 2
kx2
m2 gl
cos
M1-21
L
1 2
(m1
m2
) x&2
1 2
m2l 2&2
m2 x&l&cos
1 2
kx2
m2 gl
cos
Lx& (m1 m2 )x& m2l&cos
,
L x
kx
d dt
Lx&
(m1
m2 )&x&
m2l&&cos
m2l&2 sin
L& m2l2& m2 x&l cos,
L
m2 x&l&sin
m2gl sin
d dt
(
L&)
m2l
2&&
dri
dt
r&i
N ri k1 qk
q&k
ri t
两可边 得再对q&k 求偏导即
ri qk
r&i q&k
M1-25
变换 2.
d dt
ri qk
r&i qk