A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
π
3
ω
o
π
12
π
6
π
4
ω
(b)
(a)
第 第23 23-13 13页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案 3、周期信号频谱的特点
•
Fn
•••
Hale Waihona Puke ••-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
(1) 离散性：
谱线是离散的而不是连续的，谱线间隔为
Ω= 2π T
第 第23 23-11 11页 页
■
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4.3
周期信号的频谱及特点
例：周期信号
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
π π⎞ 1 ⎛π 2π ⎞ 1 ⎛π f (t ) = 1 + cos⎜ t − + π ⎟ + cos⎜ t − − ⎟ 2 ⎝4 3 6 2⎠ ⎠ 4 ⎝3
4.3
周期信号的频谱及特点
是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
1 ⎛π 2π ⎞ cos⎜ t − ⎟ 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 4 ⎝3 3 ⎠
ϕn
1 2
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
A0 2
An
1
1 4
π
3
o
π
3
π
12
π
6
π
4
− 2π 3
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2 T 2
f (t ) e − jnΩt d t =
−
=
Ee T − jnΩ
− jnΩt
τ
2 −
τ
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
nΩτ nΩτ sin sin( ) Eτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ 2
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
(取样函数），则：
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2
■
第 第23 23-9 9页 页
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B、画双边谱
双边振幅谱：
Fn 与nΩ关系曲线：
•••
4.3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = 12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=
第 第23 23-12 12页 页
1⎛1⎞ 1⎛1⎞ 37 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎝2⎠ 2⎝4⎠ 32
■
2
2
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π⎞ 1 ⎛π cos⎜ t + ⎟ 2 3⎠ ⎝4
■
τ
见课本P132 页图4.3-5。
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4.3
周期信号的频谱及特点
2π 谱线间隔： Ω = T 如果周期T无限增长（这时就成为非周
期信号），那么，谱线间隔 Ω 将趋近于 零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋 近于无穷小。
n = 0 , 1 ,"
为nΩ的实函数，可将振 周期信号为偶函数时，A n 幅频谱图和相位频谱图画在同一个实平面坐标系中。
A0 =
E 2
An
An =
•
2 Eτ ⎛ nΩ τ ⎞ Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
A0 E = 2 4
5Ω 6 Ω 7 Ω 0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω
" 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω 4π =
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2 nΩ τ 2π = mπ ，所以 nΩ = m = ωm ，m为整数。 若Fn为零时： 2 τ τ 1 Fn为n的实函数，设 T = 4 ，画出合二为一频谱图。 2π T = m =4 Fn的第一个零点处：m = 1 , 此时： n=m Ωτ τ
周期到非周期 傅里叶级数与频谱
第 第23 23-18 18页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案 4）、信号的带宽
2π π τ 1 Ω= = , = , T 2 T 4
•
4.3
周期信号的频谱及特点
第 第23 23-4 4页 页
■
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A、计算An和ϕn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 τ τ − 频谱。 2 2 T τ 2 2 2 E 2 − jnΩt An = ∫− T f (t ) e− jnΩt d t = dt τ e ∫ − T 2 T 2 nΩτ nΩτ sin( ) − jnΩt τ sin 2E e 4E 2 Eτ 2 2 2 = = = τ nΩτ T − jnΩ − 2 T nΩ T
。
(2) 谐波性：
谱线位置是基频Ω的整数倍。
(3)收敛性：
随谐波次数的增高，各谐波振幅（即谱线高度） 变化的总趋势是减小的。
第 第23 23-14 14页 页
■
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4.3
周期信号的频谱及特点
4、谱线的结构与波形参数的关系
1）、周期矩形脉冲的频谱
周期信号的频谱及特点
Fn = Eτ nΩτ Sa( ) T 2 （n = 0 ,±1，±2，…）
以纵轴对称
Ω=
2π π τ 1 = , = , T 2 T 4
•
Fn
•
•
-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
双边相位谱： θ n 与 n Ω 关系曲线
•••
θn
以原点对称
θ n = −θ − n
第 第23 23-2 2页 页
■
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∞
4.3
周期信号的频谱及特点
= A e jϕn A n n 2 T = ∫ 2T f (t )e− jnΩt d t , T −2 ( n = 0 , 1 , ")
周期信号三角形式(谐波形式):
f (t ) = A0 + ∑ An Cos ( nΩ t + ϕ n ) 2 n =1
•••
π
• • • •
0
-12Ω
•
-8 Ω
•
-4 Ω
• • • •
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
w
−π
第 第23 23-10 10页 页
■
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3）、特殊情况 若Fn为实函数，也可直接画Fn ，用正负来表示 相位为0或π，这时可把幅度谱和相位谱画在同一张 图上。（参看图4.3-3 ）
1 E 4
ω1 =
2π
τ
= 4Ω
−
第 第23 23-16 16页 页
2π
2Ω
Ω
Ω 2Ω 3Ω
2π
4π
τ
■
τ
τ
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4.3
周期信号的频谱及特点
3）、波形参数与频谱的关系
2π 谱线间隔： Ω = T
(a) T一定，τ变小，此时Ω（谱线间隔）不变。两 零点之间的谱线数目：
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
b)、相位谱
π
ϕn
τ
τ
"
0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω 5Ω 6 Ω 7 Ω 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω