k
2
0
0
30
50
20
40
2
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f ( t ) A 2 A [ c o s ( 1 t 2 ) 2 1 c o s ( 2 1 t 2 ) 3 1 c o s ( 3 1 t 2 ) 4 1 c o s ( 4 1 t 2 ) ]
显然，1为该信号的直流分量。
1cos t
2 4 3
周期为8；
1cost2 周期为6；
4 3 3
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T = /12
1cos t
2 4 3
是f(t)的3次谐波分量；
1cost2 是f(t)的4次谐波分量。
4 3 3
周期信号的单边频谱
2 T
不变
频谱中的第一个过零点频率 2
因 的减小而增大，
t
即信号的频带宽度增大，并且各次谐波 的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若
增大，则反之。
t
周期矩形脉冲的频谱随周期的变化而变化的关系
Fn T 2
0
2
Fn T 4
0 Fn
2
T 8
0
2
当脉冲宽度 保持不变，增大周期 T
(1)
离散谱线的间隔隔
2
通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号
的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
B
2
或
Bf
1
周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn T 2
0 2
Fn T 4
0
2
Fn
T 8
0
2
保持周期矩形信号的周期 T 不变
而改变脉冲宽度
t
则此时谱线间隔
1
周期信号频谱的概念
1）三角形式： 单边频谱
f (t ) A0 Ak cos (k 0t k ) ( k 0 0 ) k 1
2）指数形式：双边频谱
f (t)
Fn e jn0t
n
( k0 )
周期信号频谱的特点
频谱由不连续的线条组成，每个线条代表一 个正弦分量，因此这样的频谱称为离散频谱； （离散性）
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
第 13 讲
周期信号的频谱及其特点
周期信号从时域到频域的表示
上一讲对周期信号的分解与合成仍然是在时间域进行的。 只要周期信号满足狄里赫利条件，都可分解为一系列谐波分 量之和，而一个余弦分量由振幅、频率和相位确定，即一个 余弦分量波形由这三个参数完全决定。
FnBiblioteka 2 0 2 4
n0
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中 一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。
(2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。
(4)
频带宽度：第一个零分量频率：
B
2
周期矩形信号的频谱特点
(5) 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱 线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
(6) 减小时，频带宽度增大。当 趋近于无穷小，频带宽 度也无限增大，此时信号能量不再集中于低频分量中， 而是均匀分布在整个频段。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。
•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。
•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。
E
cos ( 0 t
) 2
1 2
cos (2
0t
) 2
1 3
cos (3
0t
) 2
1 4
cos (4
0t
2
)
周期锯齿脉冲信号的频谱
f
(t )
E
[cos ( 0 t
) 2
1 2
cos
(2
0t
) 2
Ak
1 3
cos (3 0 t
2
)
1 4
cos (4 0 t
2
)
]
E
振幅频谱
0 0 20 30 40 50 相位频谱
T
若τ不变，在改变T时的情况
1
2
2
T1
1
2
2
对称方波是周期矩形的特例
周期矩形 奇谐函数
x(t)
实偶函数
-T1/4
T1/4
对称方波
T1
f(t) Fejn 1t n n
奇次余弦
FESa (n)
n
T
T
1
1
f( t ) 2 E co 1 t 1 3 s c3 o 1 t s 1 5 c5 o 1 t s .. .
f(t)
Fnejn 1t
n
Fn
1 T1
2
Ee jn 1t dt
2
E
( e jn 1 / 2 e jn 1 / 2 )
T1 ( jn 1 )
E
T1
sin( n 1 )
2
n 1
2
Sa(n )
T1
-T
2
T1
1
x(t) E
2
Fn
0
2
F 0 E T 1,
T
t
F n E T 1S(n a T 1)
1
2 T
变小
t 即谱线变得更加密集
(2) 各谱线的幅度 A T
因 T 的增大而变小
包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢
t (3) 因 不变，第一个零分量频率
2 不变，即有效频谱宽度不变
t
周期矩形脉冲信号的频谱
E f1(t)
0
f(t) E
(t ) 2
(t )
2
-T
0 2
2
Tt
f(t) 1 1 c ot s 1 c ot s 2 24 3 43 3
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：
Ak
k
A0
周期信号的双边频谱
周期信号 f ( t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f(t) Fnejn1t n
Fn Fn ejn
幅度 F n 与 n 1 的关系称为双边幅度频谱
周期锯齿脉冲信号的频谱
f(t)
由于f(t)为奇函数，a0=ak=0
E 2
bkT 2T 2Tf(t)sin k(0t)dt
T
0
T 2
TT
2
t
2
4 TE 2 0T 2tsin k(0t)dt
E (1)k 1
k
E 2
f ( t ) E si 0 t ) n 1 2 s( 2 i0 t n ) 1 3 s (3 i0 t n ) 1 4 s (4 i0 t n ) (
2
•
Fk
E
T
Sa
( k0 )
2
E
T
Sa ( k
T
)
（ k = 0 ,±1，±2，…）
Ak
E T
£ 2π
0 0 20 30 2π
4π
周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
2 0
(a)
2
4
n
2 0
2 4
(b)
n0 n0
F nA T S a(n 20)
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
n 与 n 1 的关系称为单边相位频谱。
周期信号的单边频谱
对称方波的傅里叶级数展开式为
4 A 1 1 1
f( t)( s in1 t 3 s in 3 1 t 5 s in 5 1 t 7 s in 71 t) 4 A [ c o s (1 t 2 ) 1 3 c o s ( 3 1 t 2 ) 1 5 c o s ( 5 1 t 2 ) 1 7 c o s ( 71 t 2 )]
的频带宽度为（
）。
(3) 收敛性：谱线幅度随 n而衰减到零。
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线
称为谱线包络线，它反映了各分量的幅
度变化规律。如果把按抽样函数规律变
化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
2 0
2
4
n0
上图的主峰高度
F0
A
T
，包络主峰两侧第一个零点为
同样，一个复指数分量完全由其幅度和相位决定。 可以不必画出周期信号所含有的各次谐波的波形，而只用所 含各次谐波的振幅、频率和相位信息描述这个周期信号。
周期信号从时域到频域的表示
周期信号频谱的概念
为方便和明确地表示一个周期信号所含有的频率分量以及 各频率分量所占的比重，常画出周期信号各次谐波的分布 图形，这种图形称为信号的频谱图。
一个信号的频谱图包括幅度频谱图和相位频谱图。 幅度频谱图描述各次谐波的幅度与频率的关系。 相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。 根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分