其余
3 45 6 30
0 A n
o

2
3
(a )
4
5
6

An 3
3
4 5°

n
4 5°
2
2
3 0° 2 0° 1 0°
3 0°
1 0 .4 o
0 .8
1 5°

2
3
(a )
4
5
6

o

2
3
(b )
4
5
6


4 5°
n
4 5°
图 3.3-1
2
jnt F e n
将f ( t )展开为指数型傅里叶级数：
f (t )
n
T 1 0.2 Fn 0.2Sa(0.2n )
其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 n 5 ， 10 10 rad / s 这时 5
T
n Fn Sa( ) T 2
1 2

2m
3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化。 周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化。 T 相邻谱线的间隔 零，周期信号的
离散频谱 非周期信号的连续频谱。
f (t) =T/4
1/ 4
Fn 2/
0
T
t
0 1/ 8
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲
1
f t
T

0 2 2
T
2T
t
1 Fn T

T 2 T 2
f ( t )e jnt dt

2
1 T


2 2
e jnt dt
1 e jnt T jn

2
n 1 j n j 2 e e 2 jTn
f t
E
t
T
0
T
三、 周期信号的功率
周期信号是功率信号，归一化平均功率为 :
1 P T

T 2 T 2
f ( t )dt
2
这是时域上的表达式。
下面我们来讨论频域上的表达式？ 将 f (t ) 的傅里叶级数展开式代入上式得：
A0 1 2 P [ An cos(nt n )] dt T 2 n1
上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的 功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐 波功率之和。
由于 Fn 是
n
2
1 的偶函数，且 Fn An ，上式可改写为： 2
2 2 2
1 P T

T 2 T 2
f (t )dt F0 2 Fn Fn
n 1 n
3 0° 2 0°
(a)振幅谱； (b) 相位谱
3 0°
|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2

2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )


4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b )
1 2 j si n n 2 jTn



T

sin


T
sa n 2
n 2 n 2

sin x n Fn Sa ---------取样函数 Sa( x ) T x 2
1.它是偶函数。 Sa( x ) 1 。 2. 当 x 0 时， 3.当 x k
0
3T
4T t
0
1/ 8
T f (t) T=16
0
2T
t
0 1/16
Fn
2/ Fn 2/ 4/ 4/
0
T
t
0
f (t) T /T
0 t 0
图3.3-5 周期与频谱的关系
思考：
1 1 1 t sin3t sin5t .... sinnt ...] f t [sin 3 5 n
f t
1 T 1
4
n 1,3,5,
T
0
t
看作是周期性矩形脉冲 时的情况，其偶次谐 波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只 包含基波和奇次谐波分量。

T 2
周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数:
E 1 1 1 f t sint sin2t sin3t sin4t 2 3 4

1

Fn
4
T

Sa 2
4

2

0
2

4


图4.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）
T 4
1
Fn
4
T

Sa 2
4

2

0
2

4


2 相邻谱线的间隔： T 零点的位置： n k n k 2 2 2 k 0 第一个零点的位置： n
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
例 3.3-1
f (t ) 1 3 cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8 cos(6t 30),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的 f(t)表达式可视为 f(t) 的傅里 叶级数展开式。据
4/ Fn
8/
f (t) =T/ 8
16/

0
T
t
0
2/ Fn
4/
8/

f (t) =T/16
1/16
0
T
t
0
2/
4/

图3.3-4 脉冲宽度与频谱的关系
f (t) T=4
1/ 4
Fn 2/ Fn 2/ 4/ 4/
T 2T f (t) T=8

T
0.2
根据式
1 T 2 2 2 2 2 P T f (t )dt F0 2 Fn Fn T 2 n 1 n
在频谱第一个零点内的各分量的功率和为:
P10 F0 2 Fn
2 n 1
2
4
2
Fn 0.2Sa(0.2n )
P10 (0.2)2 20.2 [ Sa2 (0.2 ) Sa2 (0.4 ) Sa 2 (0.6 ) Sa 2 (0.8 )]
n ~ n 的关系绘成下面的线图， 如果将 An ~ n ， 便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各 分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。
如果将 Fn ~ n， n ~ n的关系绘成下面的线图， 同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各 分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T

m ( m 1, 2,...)

Sa(

2
) 的规律变化。
在 2 各处，即 的各处， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 f (0 ) 称为周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号 F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 F 。
0.04 0.08(0.8751 0.5728 0.2546 0.05470 )
0.1806
P10 0.1806 90.3% P 0.2
即第一个零点以内各分量的功率占总功率的 90 .3% 。
本节小结
• 1、周期信号的频谱及其特点。
• 2、周期信号的功率。

k 0 时，函数值为0。
1
Sa x
3
2

0

2
3
x
它是无限拖尾的衰减振荡。
n Fn Sa( ) T 2
f (t )

n 0, 1, 2, .....
该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：
n
F e
n

jnt
n jnt Sa( )e T n 2
n 1 1 1 sinnt n 1 n
E

f t
E 2
T
0
E 2
T
t
周期三角脉冲信号的傅里叶级数:
E 4E 1 1 f t 2 cost 2 cos3t 2 cos5t 2 3 5
T 2 T 2
A0 1 2 P [ An cos(nt n )] dt T 2 n1
将被积函数展开，在展开式中具有形式 cos(nt n ) 的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 Am cos(mt m ) • An cos(nt n ) 形式的项，当 m n 时，其积分值为零，对于 m n 的项，其积