2

2
0
Fn
E n Fn Sa( ) T1 T1
T
t

0
2

4


n
2 4



周期矩形脉冲的频谱分析表明




离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大， 谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周 期成反比。 n 各谱线的幅度按 Sa( T ) 包络线变化。 1 过零点 2m 主要能量在第一过零点内。主带宽度为： B 2
1
周期矩形信号的频谱特点
（1）频谱包络按照取样函数变化
Sa( x ) sin x x
(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性
(3) 不变，T 增大时，相邻谱线的间隔变小；同频率分 量的谱线幅度减小。
(4) 频带宽度：第一个零分量频率：
周期为6；
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率 =2/T = /12
0
1 cos t 2 4 3 1 2 cos t 4 3 3
是f(t)的3次谐波分量；
是f(t)的4次谐波分量。
周期信号的单边频谱
1 1 2 f ( t ) 1 cos t cos t 2 4 3 4 3 3
解：将f(t)改写为： f (t ) 1 cos t 1 2 4

2 1 cos t 3 6 2 4 3
显然，1为该信号的直流分量。
1 cos t 2 4 3
周期为8；
1 2 cos t 4 3 3


周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
Fn
n 0 A Sa( ) T 2

2
0
(a)
2


4

n0
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示 F
n
n

2

0

(b)
2

4

n0
E
f (t )
指数形式的傅里叶系数：
1 Fk T
T 2 T 2
f ( t )e
jk0t
E dt 2 e jk0t dt T 2

T
2 0 2
T
t

E 1 jk0t e T jk0 si n k 0 2E
T k 0 2

2
周期锯齿脉冲信号的频谱
f (t )
Ak
E
1 cos(2 0 t ) 2 2 2 1 1 cos(3 0 t ) cos(4 0 t ) ] 3 2 4 2 E [cos( 0 t )


0 2 0 3 0 4 0 50
振幅频谱
0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
jk0T k 0 sin E 2 T k 0 2
2


E
(e
jk0

2
e
jk0

2
)
Fk

E k 0 Sa ( ) T 2
E k Sa ( ) T T
（ k = 0 ,±1，±2，…）
A k
E T
£ 2π

0
0 20 30 2 π
4π
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f ( t ) 1 sin 0 t 2 cos 0 t cos(2 0 t
f (t ) 1
Ak
1

5 cos( 0 t 0.15 ) cos 20 t 4
k
0.25
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图： k Ak
A0
周期信号的双边频谱
周期信号 f (t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
Fe
n

jn1t
Fn Fn e jn
幅度 Fn 与 n 1 相位 的关系称为双边幅度频谱 的关系称为双边相位频谱
n
与
n1
周期矩形信号的频谱
本章主要内容


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容


3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
4
)
5
1
0
0
2 0 3 0 4 0 5 0

0
0 2 0 3 0 4 0 50

0.15
周期信号的单边频谱
已知周期信号
1 2 1 f (t ) 1 cos t sin t 2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。

2
0
2
4



n0
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中
一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。 (2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。 (3) 收敛性：谱线幅度随 n 而衰减到零。


2


2
Ee jn1t d t
E (e jn1 / 2 e jn1 / 2 ) T 1 ( jn1 ) n n1 Sa( ) sin ( ) E T 2 1 T n1 1 2
E -T
2 1 T1

x(t)

E F0 , T1
(3) 因 不变，第一个零分量频率
Fn
0
2
T 8


t
2

不变，即有效频谱宽度不变
周期矩形脉冲信号的频谱
E f1 (t ) 0 (t (t

2 2
)
)
f(t)
E -T


2
0

2
T
t
f (t )
Fn 1 T 1
n
F e
n

jn1t

E 1 1 1 sin( 0 t ) sin( 20 t ) sin( 30 t ) sin( 40 t ) 2 3 4
E 1 1 1 cos ( 0 t ) cos ( 2 0 t ) cos ( 3 0 t ) cos ( 4 0 t ) 2 2 2 3 2 4 2


2
0
k
0
3 0
相位频谱


2
2 0
4 0
5 0

周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f (t ) A A 1 1 1 [cos(1t ) cos(21t ) cos(31t ) cos(41t ) ] 2 2 2 2 3 2 4 2
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线 称为谱线包络线，它反映了各分量的幅 度变化规律。如果把按抽样函数规律变 化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
A

2
0
2
4



n
上图的主峰高度 F0 T ，包络主峰两侧第一个零点为 通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号 的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
n
E n Sa( ) T T
1 1
f (t )
2E 1 1 cos1t cos31t cos51t .... 3 5
对称方波的频谱变化规律
x(t )
n
T/4
0
3 1
0
71
-T/4
an
3 1
0
an
T 奇次谐波
3 1 51
1
51
B 2
2

或
Bf
1

周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn
保持周期矩形信号的周期 T 不变

T 2
t
0
2

Fn

0
2
T 4
t
2 不变 T 频谱中的第一个过零点频率 2
则此时谱线间隔
而改变脉冲宽度
1
因 的减小而增大，


Fn