菱形的判定方法
(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边 形; (2)菱形的性质 1 菱形的四条边都相等;
程 (2)对角线互相垂直的平行四边形是
性质 2 菱形的对角线互相平分,并且每
菱形;
条对角线平分一组对角;
(3)四条边均相等的四边形是菱形。 3、本节课重点题型讲解分析
二:提出教学过程中的问题 2,3 并让学生自己
一:选择题 1.下列四边形中不一定为菱形的是( )
2
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A.对角线相等的平行四边形
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B.每条对角线平分一组对角的四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2.四个点 A,B,C,D 在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;
于点 D,CH⊥AB 于 H,且交 BD 于点 F,DE⊥AB 于 E,四边形 CDEF 是菱形吗?请说明 理由.
C
D F
B
H EA
(二)、知识交叉题
课
2.(科内交叉题)如图所示,已知△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,过点 D•
后
习 作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,再过 E,F 作 EG⊥AC,FH⊥AB,垂足分别为 G,
平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F.
求证:四边形 AFCE 是菱形.
证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AE∥FC.
∴ ∠1=∠2.
又 ∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴ △AOE≌△COF.
∴
例
∴
题/
课
又
上
∴
习 形).
EO=FO. 四边形 AFCE 是平行四边形. EF⊥AC,
AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱
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又因为∠1=∠2,所以 BD⊥CE,且 OC=OE.
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因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,
所以∠3=∠4.所以 CF=CD.
又因为 CE⊥DF,所以 OF=OD.所以四边形 CDEF 是平行四边形,•
又因为 DF⊥CE,所以 CDEF 是菱形.
(三)、3.解:(1)因为墙壁的总面积为 4.2×2.8=11.76(m2),每块瓷砖的面积
为 0.3×0.2=0.06(m2),所以最少需要贴这种瓷砖 11.76÷0.06=196(块).
(2)因为每相邻 4 块瓷砖构成一个有花纹的菱形(如图),
在长 4.2m,宽 2.8m 的墙壁上贴长 30cm,宽 20cm 的长方形瓷砖,
BC 相交于点 E,∠ABC 的平分线 BF 与 AD 相交于点 F,AE•与 BF•相交于点 O,•求证:
•四边形 ABEF 是菱形.
证 明 : ① 因 为 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ; ② 所 以 AD∥BC ; ③ 所 以
∠ABE+∠BAF=180°;④因为 AE,BF 分别平分∠BAF,∠ABE;⑤所以∠1=∠2= 1 ∠BAF, 2
3.【探究】(对教材的探究)用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,
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做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四 边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到: 菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.
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课题
菱形的判定方法
学生姓名
学生年级
学科
数学
教师姓名
学管师姓名
咨询师姓名
上课时间 教学目标 教学重点/难点
教案 1( )教案 2( )
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关 的论证和计算;
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手 能力及逻辑思维能力.
∠3=∠4= 1 ∠ABE;⑥所以∠1+∠3= 1 (∠ABE+∠BAF)=90°;⑦所以∠AOB=90°;
2
2
⑧所以 AE⊥BF;⑨所以四边形 ABEF 是菱形,问:
(1)上述证明是否正确?
答:___________;
(2)如有错误,在第______步推理错误,应在第_____步后添加如下证明过程:
⑤AD∥BC.这 5 个条件中任选三个,能使四边形 ABCD 是菱形的选法有( ).
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种
3.菱形的周长为 32cm,一个内角的度数是 60°,则两条对角线的长分别是( )
A.8cm 和 4 3 cm B.4cm 和 8 3 cm C.8cm 和 8 3 cm D.4cm 和
题 H,且 EG,•FH 相交于点 K,试说明 EF 和 DK 之间的关系.
A
H KG
E
F
(三)、实际应用题
B
DC
3.菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱,在生产生活中有极其广泛的应用.如
图所示是一块长 30cm,宽 20cm 的长方形的瓷砖,E,F,G,H 分别是边 BC,CD,DA,
•AB 的中点,涂黑部分为淡蓝色花纹,中间部分为白色.现有一面长 4.2m,宽 2.8m•
因为 AB=AC,所以∠B=∠C.又因为 BD=CD,∠BED=∠CFD=90°,
所以△BDE≌△CDF,所以 DE=DF.所以 DEKF 是菱形,•
所以 EF 与 DK 互相垂直平分.
点拨:要说明 EF 与 DK 互相垂直平分,只要说明四边形 DEKF 是菱形,•要说明四
边形 DEKF 是菱形,可先说明四边形 DEKF 是平行四边形,再说明一组邻边相等即可.
四、思考题
9.如图,矩形 ABCD 的对角线相交于3点 O,PD∥AC, PC∥BD,PD,PC 相交于点 P,四边形 PCOD 是菱形吗?
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试说明理由.
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一:课本练习题(略) 二:学生自己的辅导资料(同步练习,略) 三,开发智力题
(一)、七彩题 1.(一题多解题)如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC 的平分线 BD•交 AC
(五)、探究学习篇 1.(结论开放题)如图所示,在菱形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的点,且
CE=CF.请你仔细观察图,除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外,请你选 取一个角度提出一个问题,并加以说明.
2.阅读下列材料,完成后面的问题:如图,在 ABCD 中,∠BAD 的平分线 AE 与
的墙壁准备贴这种瓷砖,试问: (1)这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块?
AG
D
H
F
(四)、经典中考题
B
EC
4.(宜宾)已知:如图所示,菱形 ABCD 中,E,F 分别是 CB,CD 上的点,且 BE=DF.
(1)试说明:AE=AF;
4
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(2)若∠B=60°,点 E,F 分别为 BC 和 CD 的中点,试说明:△AEF 为等边三角 形.
题
※例 2(选讲) 已知:如图,△ABC 中, ∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,CD⊥AB 与 D,EH⊥AB 于 H,CD 交 BE 于 F. 求证:四边形 CEHF 为菱形.
略证:易证 CF∥EH,CE=EH,在 Rt△ BCE 中,∠CBE+∠CEB=90°,在 Rt△ BDF 中,∠DBF+∠DFB=90°,因为∠CBE=∠DBF,∠CFE=∠DFB,所以∠CEB=∠CFE, 所以 CE=CF. 所以,CF=CE=EH,CF∥EH,所以四边形 CEHF 为菱形.
4 3 cm
二、学生课堂练习 二.填空题 4.如图 1 所示,已知□ABCD,AC,BD
相交于点 O,•添加一个条件使平行四边形 为菱形,添加的条件为________.(只写出 符合要求的一个即可)
图1
图2
5.如图 2 所示,D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上的点,且 DE∥AB,DF∥CA,
点拨:解法一利用了菱形的定义,•解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边
形是菱形”的方法,本题除以上两种解法外,还可利用“四条边都相等的四边形是菱
形”的方法解决,请同学们再进行探讨.
(二)、2.解:EF 与 DK 互相垂直平分.理由:因为 DE⊥AB,FH⊥AB,所以 DE∥FH.
因为 DF⊥AC,EG⊥AC,所以 DF∥EG.所以四边形 DEKF 是平行四边形.
1.教学重点:菱形的两个判定方法. 2.教学难点:判定方法的证明方法及运用.
教师活动
学生活动
1、上节课作业检查及知识点回顾,解
决上节课遗留的问题
一:让学生复习上节课所学内容,回答下列问
2、本节课知识点讲解:
题来检验学生对上节课知识的掌握程度。
菱形判定方法:
教 学 过
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱 形;
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因为 CH⊥AB,DE⊥AB,所以 CH∥DE.所以 CF // DE.•
所以四边形 CDEF 是平行四边形. 又因为 CF=CD,所以□CDEF 是菱形.
解法二:四边形 CDEF 是菱形.理由:如答图 20-3-4 所示,连结 CE 交 DF 于点 O. 因为∠1=∠2,∠BCD=∠BED=90°,BD=BD,所以△BCD≌△BED.所以 BC=BE.
通过探究教材对菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法: 菱形判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形.