1 磁力矩公式的使用条件及应用
大学物理电磁学教程中 ,载流矩形线圈在均匀磁场中所受磁力矩为 M = Pm ×B ,进而推广为任意平 面载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为 M = Pm ×B ( Pm = IS 为任意平面线圈的磁矩) 。通过分析其过 程知 ,均匀磁场中的磁力矩一定是一对力偶矩 。可见 , M = Pm ×B 成立的条件为 :均匀磁场载流平面线圈
第 2 期 刘运等 :磁力矩公式在非均匀磁场中的应用
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解 : I1 产生的磁场为非均匀的 ,大小为 B
=
μ0 I 2πr
。取距离直导线
r
处 ,宽为 d r 的带状区域 ,在其上取微元面 d s 如图 1 。
磁矩
d Pm = I2d s = I2 rdθd rk ( d s = rdθd rk)
根据磁场分布 ,d Pm 所受磁力是一对力偶 ,即 :
合力矩 :d M2 = r ×d F = 0 M2 = 0
力偶矩 :d M1 = d Pm ×B
大小 :d M 1 = I2 rdθd rμ2π0 Ir1 方向 :沿 r 的反方向
将 d M1 沿 X , Y 轴分解 : d M1 x = d M 1cosθ
bcsinθ
a 2
c2 +
a 2
1
2
+
+
acco sθ
c2
+
1
a 2
2
-
accosθ k
∫ +
a 2
-
a 2
μ0 I1 I 2πr
2
bsi
n
<d
x
k
Bx
=
B rsin < B r
=
μ0 I1 2πr
c sin
<
=
r
sinθ
r22 = c2 +
a 2
2
+ accosθ r21 = c2 +
a 2
2
②用磁力矩公式计算 :
+
acco sθ
c2
+
1 a2 4+
acco sθ
k
·106 ·
陕西科技大学学报 第 21 卷
取微元面如图 2 所示 , d Pm = I2 bd x j ,根据磁场分布 ,d Pm 所受的磁力不是一对力偶 ,即 :
d M = d M 1 + d M2 M = M1 + M2
a 2
+ ccosθ csinθ
-
a rct g
a 2
+
ccosθ k
csinθ
显然 ,两种方法计算的结果不一致 ,其原因是方法 ②少了合力矩 。
d M2 = x i ×d F
a
a
∫ ∫ M2 = -
2 -
a 2
I2
bx
dB
xk
=-
I2 bxB xk +
2 -
a 2
I2
bB
x
d
x
k
=-
μ0 I1 I2 2π
由对称性知 : M 1 x = 0
d M1y
=-
d M 1sinθ = -
μ0 I1 2π
I2
si
nθd
rdθ
图 1 实例 1 附图
∫ ∫ M1 y
=-
μ0 I1 I2 2π
2 R π- α
d r sinθdθ
0
α
∫ =
μ0 I1 2π
I
2
2R
cosαd r
0
由图 1 知 : r = 2 R sinα, d r = 2 Rcosαdα 。对整个载流圆环
Abstract : This article illust rate t he variety of met hods of calculating t he magnetic moment subjected to t he current2carrying coil in t he non - uniform magnetic field and t he flexibilit y of applying t he magnetic moment formula M = Pm ×B t hrough t hese two specific calculations of instance. Key words : magnetic moment ;moment of couple ;non2uniform magnetic field ;current2carrying coil
图 2 实例 2 附图 图 3 实例 2 俯视图 ①由力矩定义计算 :
M ==-
f1
a 2
sin<1+f2
a 2
si
n
<2
k
μ0 I1 I2 b 2πr1
·a 2
sin
<1
+
μ0 I1 I2 2πr2
b
·a 2
sin
<2
k
=-
μ0
I1 I2
2π
b
·a 2
·csinθ
c2
+
1 a2 4-
APPL ICATION OF MAGNETIC MOMENT FORM ULA IN THE NON2UNIFORM MAGNETIC FIELD
L IU Yun , ZHAN G Liang2rui
( Faculty of Basic Courses ,Shaanxi University of Science & Technology ,Xianyang 712081 ,China)
∫ ∫ d Pm ×B + r ×d F 。
2 结论
通过上述理论分析可得 :在非均匀磁场中求磁力矩时 ,可用两种方法计算 。
∫ (1) 根据磁场分布和题设条件 ,若能取得合适的微元面形状 ,使其所受的合力 d F = 0 ,直接用 d Pm ×
B 求合磁力矩比较简单 ,如下述实例 1 。
∫ ∫ (2) 若题设条件不许可 ,用 M1 = d Pm ×B + r ×d F 求磁力矩比较麻烦 ,而此时直接用力矩定义 M
№. 2 陕西科技大学学报 Apr. 2003
·104· J OU RNAL OF SHAANXI UN IV ERSIT Y OF SCIENCE & TECHNOLO GY Vol. 21 Ξ 文章编号 :1000 - 5811 (2003) 02 - 0104 - 03
d M 1 = d Pm ×B
∫ M1
=-
μ0 I1 I2 2π
b
sin r
<d
x
k
用几何关系 :
r2
=
c2
+
x2
+ 2 cxcosθ;
c
sin <
=
r
sinθ
代入得 :
∫ M1
=-
μ0 I1 I2 2π
bcsinθ
a 2
-
a 2
c2
+
x2
1 +
2
cx
co
sθd
x
k
=-
μ0 I1 I2 2π
b
arctg
∫ M 1 y
=
μ0 I1 π
I2
R
π
2 2cos2αdα
0
=-
μ0 I1 I2 2
R
与用力矩定义 M = r ×F 计算结果完全一致 (可参阅有关题解〔1〕) 。
实例 2 。载流为 I1 的长直导线旁放一载流为 I2 ,长 、宽分别为 b 、a 的矩形线圈如图 2 。
解 :为方便计算 ,画俯视图如图 3 。
0 引言
在大学物理的电磁学教学中 ,都会涉及到这样一类问题 :在载流为 I1 的长直导线旁 ,有一载流为 I2 的线圈 ,求作用在线圈上的磁力矩 。对这类问题 ,常想到用磁力矩公式进行计算 ,其结果出现了对有些问 题计算过程繁琐而结论错误的现象 ,下面通过对磁力矩公式的分析和两个例题的计算来说明 。
= r × F 求磁力矩比较简单 ,见实例 2 。
3 实例分析
实例 1 。一载流为 I1 的长直导线 ,旁边放一载流为 I2 ,半径为 R 的圆线圈 。如图 1 所示 ,求圆线圈所 受的磁力矩 。
Ξ 收稿日期 :2002 - 12 - 06 作者简介 :刘运 (1963 - ) ,男 ,陕西省富平县人 ,讲师 ,研究方向 :理论物理
磁力矩公式在非均匀磁场中的应用
刘运 ,张良瑞
(陕西科技大学理学院 ,陕西 咸阳 712081)
摘 要 :通过在非均匀磁场中载流线圈所受磁力矩的两个具体例子的计算 ,说明在非均匀磁场 中计算载流线圈所受磁力矩方法的多样性及磁力矩公式 M = Pm ×B 使用的灵活性 。 关键词 :磁力矩 ;力偶矩 ;非均匀磁场 ;载流线圈 中图分类号 :O441. 2 文献标识码 :A
-
acco sθ
M
=
M1 +
M2
=-
μ0 I1 I2 2π
bcsinθ
a 2
与上述 ①中由力矩定义计算的结果完全一致 。
c2
+
1
a2 4
+
+
acco sθ
c2
+
1
a2 4
-
accosθ k
参考文献
〔1〕张孝林.《大学物理 (新版) 》学习指导〔M〕. 北京 :科学出版社 ,2002 , 223～224. 〔2〕张三慧.《大学物理学》(第三册)〔M〕. 北京 :清华大学出版社 ,1999.