平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．2 5 D ．102．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．3 3．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 A.322B.3152 C ．－322 D ．－31524．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b | 等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 6．在四边形ABCD 中，AC →＝(1， 2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为 A. 5B ．2 5C ． 5D ．107．如图所示,非零向量=a ,=b ,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa (λ≠0),则λ=( )8．在△ABC 中,sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C,则A 的取值范围是( ) (A)（0,π6] (B)[π6,π）(C)(0,π3] (D)[π3,π) 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝A.π3B.2π3C.3π4D.5π610．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3, 1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．14．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．15．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．17．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=2π3,求ab的值. 18．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=12c+bcos C. (1)求角B 的大小; (2)若S △ABC =3,求b 的最小值.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．20．△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S 1和S 2. (1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度; (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,求12S S 的最小值. 21．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足sin sin 2cos cosCsin cos B C B A A +--=。

（1）证明：2b c a +=；（2）如图，点O 是△ABC 外一点，设(0)AOB θθ∠=<<π，OA=2OB =2，当b c =时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。

参考答案：1． B 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.2.选B 如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13. 3. A 解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →在CD →方向上的投.4. B 解析：.若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝6＋k ＝0，k ＝－6；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝0，6＋k －5＝0，k ＝－1；若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝0，k 2－k ＋3＝0无解． ∴综上，k 可能取－6，－1两个数．故选B. 5. B 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 6. C 解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.7. A 【解析】.⊥,即⊥,所以(-)·=0,所以||2-·=0,即λ2|a|2-λa·b=0,又λ≠0,解得λ=.8 C.解析:根据正弦定理,由sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C 得a 2≤b 2+c 2-bc,根据余弦定理cos A=2222b c a bc +-≥2bc bc =12,又∵0<A<π,∴0<A≤π3,故选C. 9. B 【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.10. D.解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1. 11. 5解析：AB OB OA =-＝(3,2－t )，由题意知OB AB ⋅＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.12． ⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 13.2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14.52解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |. ∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5.|b |＝|2e 1|＝2.∴a ·b |b |＝52. 15. 120°【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12b 2，设a 与b 的夹角为θ，又|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.16.解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B .即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，故a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)．故S ＝12ab sin C ＝12·4·sin π3＝ 3.17.(1)证明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 2B=1得sin A+sin C-2sin B=0. 因为sin a A =sin b B =sin c C,所以a+c-2b=0, 所以2b=a+c,即a 、b 、c 成等差数列.(2)解:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab·cos C 及2b=a+c,c=2π3, 得(a-2b)2=a 2+b 2-2ab 12⎛⎫- ⎪⎝⎭.即a 2+4b 2-4ab=a 2+b 2+ab, 也即3b 2=5ab,所以a b =35. 18.解:(1)由正弦定理可得sin A=12sin C+sin Bcos C,又因为A=π-(B+C),所以sin A=sin(B+C), 可得sin Bcos C+cos Bsin C=12sin C+sin Bcos C,又sin C≠0, 即cos B=12,所以B=π3. (2)因为S △ABC =3,所以12acsin π3=3,所以ac=4, 由余弦定理可知b 2=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac,当且仅当a=c 时等号成立.所以b 2≥4,即b≥2,所以b 的最小值为2.19.解析： (1)a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b .由正弦定理得： sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理得，a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得：42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.20.解:(1)∵E 为AC 中点时,则AE=EC=32,∵32+3<32+4,∴F 不在BC 上.故F 在AB 上, 可得AF=72,在三角形ABC 中,cos A=23. 在三角形AEF 中,EF 2=AE 2+AF 2-2AE·AFcos A=152,∴EF=302.即小路一端E 为AC 中点时小路的长度为302百米. (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,如图所示,设CE=x,CF=y,则x+y=5,12S S =ABC CEF CEF S S S ∆∆∆-=ABCCEFS S ∆∆-1 =1sin 21sin 2CA CB C CE CF C⋅⋅-1=9xy -1≥292x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=1125,当x=y=52时取等号. 答:最小值为1125. 21.。