y
x o －50° o 405°
y
210° x
y
y
y －450° x x o
x
o o －200°
练习（口答）：在直角坐标系中，判断 下列各角是第几象限的角？
⑴ 60°；⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；
演示
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考4：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
3 第二象限角.
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
Y
在0o~360o范围内，终边在y轴上 的角是 90°和270°
O
X
所有与90o角终边相同的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z



所有与270o角终边相同的角的集合
终边在y轴上的角的集合: S＝S1 S2
－120°，450°.
思考5：任意两个角的数量大小可以相加、相 减,如50°＋80°=130°,50°－80°=－30°, 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以 50° 角 的 终 边 为 始 边 ， 逆 时 针 （或顺时针）旋转80°所成的角.
思考6：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，这样的角的大小有什么特点？
o
300
x
思考2：这些角与30°角在数量上相差 多少? 。除了这些角而外还有哪些角与 30°角终边相同？
390°=30°+1×360° 2×360o+30o -2×360o+30o -330°=30°+（-1）×360° o+30o o+30o 3×360 -3×360 1470°=30°+4×360° o+30o o+30o 4×360 -4×360 -1770°=30°+（-5）×360°
高中新课程数学必修④
执教人：伊贞红
新课引入
【新课引入】
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
终边 B
顶o 点
A
始边
2．生活中很多实例会不在 [00 ,3600 ] 这个范围内。
S1 | k 360 , k Z



S 2 | 180 k 360 , k Z



终边在X轴上的角的集合：S=S1∪S2
变式训练
S1 | k 360 , k Z

S1
S | (2k 1) 180 , k Z S＝S1 S2 | k 180 , k Z
S2 | 180 2k 180 k Z | 180 k 360 , k Z


S1 | 180 360 , k Z




2

小结
1、角的定义
| 90 180 k 360 , k Z





S＝S1
| 90 n 180 , n Z S
2

变式训练：写出终边在X轴上的角的集合
解：在0o~360o范围内，终边在X轴上的角是 0o和180o, 所有与0o角终边相同的角构成的集合 所有与180o角终边相同的角构成的集合
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
2、任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
3、象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
4、 终边与 角α相同的角
S { | k 360 , k Z}
0
k· 360°（k∈Z）
演示
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意的角，角的终 边可能落在哪些位置？ y o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角；如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角.那么下 列各角：-50°,405°,210°, -200°, －450°分别是第几象限的角？
作业： 必做题： P5 3，4，5. 选作题：
如果α是第二象限的角，那么2α、 α/2分别是第几象限的角？
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
我们规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角。 即零角的始边和终边重合。
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向, 又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围 就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°， ＝－150°, ＝－660°，你能用图形表 示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
思考5：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一定 是135°吗？
y
x
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1 390 ，330，30 ，1470 ， 1770是第几象限的角？这些角的终边 有什么关系？
y
它们都是第一 象限的角，角 的终边相同
-330o 390o
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}
注意： ⑴ k∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出 与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
－950°12′=129°48′－360°×
……，
……，
相差360o的整数倍
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－ 30°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β= 30° ＋k·360°,
k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α 终边相同的角， 连同角α 在内所构成的集合S可以怎样表示？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}，即任一与 α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和.
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B 1 加以标注.

α O β
B2
A
演示角
思考4：如果你的手表慢了20分钟，或快了 1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才 能将时间校准？
体操运动员转体720º， 跳水运动员向内、向外转体1080º
如：
跳水比赛
转体三周 半指的是多少度？
这些例子所提到的角不仅不在范 围[00 ,3600 ] 内，而且方向不同， 有必要将角的概念推广到任意角，想 想用什么办法才能推广到任意角？
运 动
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.我们将一条射线绕 其端点按逆时针方向旋转600所形成的角， 与按顺时针方向旋转600所形成的角是否 相等？
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z



S 1 | 90 2k 180 , k Z




S2 | 270 k 360 , k Z

| 90 180 2k 180 , k Z | 90 2k 1 180 , k Z （ ）