人教版高中数学选修2-1模块综合检测题（满分150分 时间120分钟）一、单选题.（每小题5分，共12小题） 1.“如果x y >，则22x y >”的逆否命题是.A 如果x y ≤，则22x y ≤ .B 如果x y >，则22x y < .C 如果22x y ≤，则x y ≤ .D 如果x y <，则22x y < 2. 不等式()20x x -<成立的一个必要不充分条件是.A ()0,2x ∈ .B [)1,x ∈-+∞ ().0,1C x ∈ ().1,3D x ∈ 3.已知A 、B 、C 三点不共线，则下列条件中能使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 .A 32OM OA OB OC =-- .B 0OM OA OB OC +++= .C 0MA MB MC ++= 11.42D OM OB OA OC =-+4.若方程22216y x a a+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为 .A 3a > .B 2a <- .C 3a >或2a <- .D 3a >或62a -<<-5. 如图，椭圆221259y x +=上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF则ON (O 为坐标原点)的值为.A 8.2B.4C 3.2D6.已知椭圆的标准方程为()2210yx a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率为A B 1.3C 1.2D7.双曲线221412y x -=的焦点到渐近线的距离为A .2BC .1D8.直线1y kx k =-+与椭圆22194y x +=的位置关系是 .A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 不确定9.已知椭圆2211216y x +=,则以点()1,2M -为中点的弦所在直线方程为.38190A x y -+= .38130B x y +-= .2380C x y -+= .2340D x y +-=10.在同一坐标系中,方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>所表示的曲线大致是11.过点()3,0A 且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为.A 直线 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221y x a b +=，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，曲线1C 与2C 的离心率B，则双曲线2C 的渐近线方程为.0A x ±=0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=二、填空题.（每小题5分，共4小题）13. 命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤”的否定形式为 . 14. 已知平面α的一个法向量为()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 .15. 设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为3,则抛物线的方程为 .16. 与椭圆22194x y +=有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为 . 三、解答题.17.（10分）设命题:p 函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增；命题:q 函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立. 若p 或q 为真，而p 且q 为假，求实数m 的取值范围.18.（12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.19.（12分）已知双曲线过点()3,2-且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M 在双曲线上，1F 、2F 为双曲线的左右焦点，且122MF MF =，求12MF F ∆的面积.20.（12分）如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD DC =, E F 、分别为AB 、PB 的中点.（1）求证:EF CD ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论； （3）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值.21.（12分）如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB 的斜率为定值PA B C D EF22.（12分）已知12,F F 分别为椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y=的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且153MF =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知点()1,3P 和圆222:O x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A 、B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:,AP PB AQ QB λλ=-=（0λ≠且1λ≠±）.求证:点Q 总在某定直线上.人教版高中数学选修2-1 模块综合检测题参考答案解析一、选择题. 1.【答案】.C【解析】原命题为“若p 则q 形式”，则其逆否命题为“若q ⌝则p ⌝形式”.故选.C2.【答案】.B【解析】由()20x x -<得02x <<，()[)0,21,⊂-+∞且()0,2x ∈是[)1,x ∈-+∞的一个真子集， ∴ [)1,x ∈-+∞是“不等式()20x x -<成立”的一个必要不充分条件.3.【答案】.C【解析】∵ 0MA MB MC ++=，∴ MA MB MC =--，根据向量共面定理，可知点M 与点A 、B 、C 四点共面. 4.【答案】.D【解析】∵ 椭圆221y x a+=的焦点在x 轴上， ∴ 2660a a a ⎧>+⎪⎨+>⎪⎩ 即 ()()2306a a a ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩ 解得 3a >或62a -<<-，故选.D5.【答案】.C【解析】∵O 为12F F 的中点,N 为1MF 的中点， ∴ 2//ON MF 且212ON MF =. ∵12210MF MF a +== ∴ 21101028MF MF =-=-=，∴ 4ON =.6.【答案】.D【解析】如图，∵ 2AP PB =，∴ 2OA OF =，即 2a c =，∴ 12e =.7.【答案】.A【解析】双曲线221y x -=的焦点分别为()()4,0,4,0-.渐近线方程为y =或y =，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一条渐近线的距离都相等，∴d ==.A8.【答案】.A【解析】直线方程1y kx k =-+可化为()11y k x =-+，过定点()1,1.而把点()1,1代入椭圆方程可得13111+=<，∴点()1,1在椭圆内部，∴直线与椭圆相交. 9.【答案】.C【解析】设弦的两端点为()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得22112222112161x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 ()()()()1212121201216x x x x y y y y -+-++= 整理得 121223y y x x -=-， ∴ 弦所在直线斜率为2，∴ 直线方程为()221y x -=+，即2380x y -+=，故选.C10.【答案】.D【解析】方法一 将方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>转化为2222111y x a b+=和2a y x =-，∵ 0a b >>，∴ 110>>. ∴ 椭圆焦点在y 轴上，抛物线焦点在x 轴上，且开口向左，故选.D方法二 方程()200ax by a b +=>>中将y -代替y ，方程结果不变，∴ 20ax by +=图象关于x 轴对称，排除B 、C ;又椭圆焦点在y 轴上,排除A ,故选.D11.【答案】.D【解析】如图，设点P 为满足条件的一点，易知点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离.故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故 点P 的轨迹为抛物线，故选.D 12.【答案】.A【解析】22221122c a b e a a -==，22222222c a b e a a +==，∴ ()44422124314a b b e e a a-⋅==-=，∴b =∴渐近线方程为y x =,即0x ±=,故选.A 二、填空题.13.【答案】()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >.【解析】全称命题的否定是特称命题，否定结论时“且”要换为“或”，“≤”换为“>”，故最后的否定形式为“()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >”.14.【答案】10.3【解析】()1,2,4PA =-,()2,2,1n =--,∴ 点()2,1,4P -到平面α的距离为103PA n d n⋅==. 15.【答案】28y x =或216y x =-.【解析】当0m >时,2p m =,∴2m p =，∴抛物线的准线方程为4m x =-，依题意，()134m --=,∴8m =，∴抛物线方程为28y x =.当0m <时,2p m =-,∴2m p =-,∴抛物线的准线方程为4m x =-,依题意得134m +=，∴8m =（舍）或16m =-,∴抛物线的方程为216y x =-.综上，抛物线方程为28y x =或216y x =-.16.【答案】2252x y -=.【解析】因为所求双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±.故可设双曲线方程为()220x y λλ-=>，又∵椭圆焦点为()，根据题意，所求双曲线焦点为(). ∴25λ=,52λ=. 故所求双曲线方程为2252x y -=. 三、解答题17.【答案】{}312m m m ≥<<或.【解析】若函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增，则12m-≤-，∴2m ≥，即:2p m ≥； 若函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立，则()2162160m ∆=--<，解得13m <<，即:13q m <<. ∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴,p q 一真一假.当p 真q 假时，由231m m m ≥⎧⎨≥≤⎩或 得3m ≥，P当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨<<⎩得 12m <<，综上，m 的取值范围为{}3m m ≥或1<m<2.18.【解析】将圆A 的方程整理得()22116x y ++=，∴点A 的坐标为()1,0-∵AD AC =,∴ACD ADC ∠=∠.∵//EB AC ，∴EBD ACD∠=∠，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠.∴EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，∴4EA EB +=由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠. 19.【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=，焦点在x 轴上，且c 设双曲线方程为22221x y a b -=，则22229415a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解得 2232a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， ∴ 双曲线的方程为22132x y -=. （2）因为点M 在双曲线上，又122MF MF =①，∴ 点M 在双曲线右支上，∴ 12MF MF -=②，由①②解得12MF MF ==12F F = 在12MF F ∆中，222121212125cos 26MF MF F F F MF MF MF +-∠==，∴ 12sin F MF ∠=，∴12121211sin 22MF F S MF MF F MF ∆=∠=⨯=. 20.【解析】如图，以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，设AD a =，则()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,,0D A a B a a C a ,,,02a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,,,,222a a a P a F ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）证明：∵(),0,,0,,022a a EF DC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴0EF DC ⋅=，∴EF DC ⊥，即EF CD ⊥.（2）设(),0,G x z ，则,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，若使GF ⊥平面PCB ，则由(),,,0,002222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a x =.由()2,,0,,022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0z =. ∴G 点坐标为,0,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.（3）设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则OAl00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴ ()(),,,,0222,,,,002a a a x y z a x y z a ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取1x =,则2,1y z =-=，∴()1,2,1n =-,∴cos ,2BD n BD n a BD n⋅===∴DB 与平面DEF . 21.【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，由点()1,2P 在抛物线上，得2221p =⨯，解得2p =，故所求抛物线方程 为24y x =，准线方程为1x =-.（2）∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴PA PB k k =-， 即12122211y y x x --=---，又()()1122,,,A x y B x y 均在抛物线上， ∴ 221212,44y y x x ==，从而有122212221144y y y y --=---， 即124422y y =-++，整理得124y y +=-， 故直线AB 的斜率12121241AB y y k x x y y -===--+.22.【解析】（1）由22:4C x y =得()10,1F ，设()()000,0M x y x <，因M 在抛物线2C 上，故2004x y =，① 又153MF =，则0513y +=，② 由①②解得0023x y ==.而点M 在椭圆上，故有 2222231a b ⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即 2248193a b +=，③又1c =，则221b a =-，④由③④可解得224,3a b ==，∴ 椭圆1C 的方程为22143y x +=. （2）设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y ，由AP PB λ=-可得()()11221,31,3x y x y λ--=---，即()1212131x x y y λλλλ-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩⑤⑥由AQ QB λ=得()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，即()()121211x x x y y y λλλλ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩⑦⑧⨯⑤⑦得:()2222121x x x λλ-=-，⨯⑥⑧得:()22221231y y y λλ-=-. 两式相加得 ()()()()222222112213x y x y x y λλ+-+=-+，又点,A B 在圆223x y +=上,且1λ≠±,∴ 222211223,3x y x y +=+=， 即 33x y +=,∴点Q 总在定直线33x y +=上.2F。