这就说明在上述条件下，系统平衡状态 是L稳定的。
定理1：线性系统平衡状态在t0 为L稳定 的充分必要条件是存在一个正数k(t0)， 使得
(t , t0 ) k (t0 )
且如果正数k与初始时刻t0 无关，那么该 平衡状态是一致稳定的。
其中H>0， 为向量的2范数或欧几里 德范数，即
x xe ( x1 x1e ) ( xn xne )
2
2
类似地，也可以相应定义球域S(）和 S(）。域S()制约着初始状态x0， 而 域S()是起始于x0的轨迹的边界。
(1) 如果对应于每一个S(），存在一个 S( ( ,t0))，使得当t 趋于无穷时，始 于S()的轨迹不脱离S(），则系统的 平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳 定的。一般地，实数与和t0有关，如 果 与t0无关，则此时平衡状态称为一 致稳定的平衡状态。
H 0
在H邻域内，若对任意给定的 均有
，
含义：首先选择一个域S()，对应于每 一个S()，必存在一个域S()，使得当t 趋于无穷时，始于S()的轨迹总不脱离 域S()，反映出状态运动的有界性。
注意：此定义仅要求状态轨迹位于S() 域内，并不要求它逼近平衡状态，所 以它容许在平衡状态附近存在连续振 荡，其状态轨迹是一条被称为极限环 的闭合回路，极限环反映了振荡频率 和振荡幅度。
g (t , ) d k
即绝对可积的。
Case 2. MIMO系统 系统输出y(t)的某个分量yi(t)可以写成有 限项之和，即
m yi (t ) g ij (t , )u ( )d t0 j 1
t
利用上面的SISO系统的结论，就可以推 导出MIMO系统外部稳定性就等价于：
因果系统：就是说系统的输出只和当 前时刻及其以前各个时刻的输入有关， 而与以后时刻的输入无关。 在讨论系统的外部稳定性时，必须假 设系统的初始条件为零，这是因为只 有在这种情况下，系统的输入输出外 部描述才是唯一的，有意义的。

根据脉冲响应矩阵来判别系统的外 部稳定性
Case 1. SISO系统 利用脉冲响应矩阵，写出系统的输出:
t t t t t t
为卷积运算
t t t
x 2 (t ) e x 20 (e e ) x10 (e e ) v y x1 x 2 e ( x10 x 20 ) e v
如果把补偿器串联在被控系统之后， 该系统是BIBO稳定的，且单就输出而 言，y(t)只受模态e－t的控制，只要输入 是有界的，那么输出必定是有界的， 而且对初始状态没有任何限制，可以 处于二维状态空间中的任何位臵。但 是考虑到系统的内部特性，系统状态 随着时间的增加，是按指数et无限上升， 导致系统饱和或受到破坏。
所谓系统运动的稳定性，也就是研究 平衡状态的稳定性，也就是当受扰运 动偏离平衡状态之后，能不能依靠自 身系统的内部结构因素，而返回到平 衡状态，或是限制在它的一个有限邻 域之内。下面给出几种不同的lyapunov 意义下的稳定性定义。
二 Lyapunov意义下的稳定性定义
设系统
x f ( x, t ), f ( xe , t ) 0 的平衡状态 xe 0 的H邻域为 x xe H

在控制工程问题中，总希望系统具有
大范围渐近稳定的特性。如果平衡状
态不是大范围渐近稳定的，那么问题
就转化为确定渐近稳定的最大范围或
吸引域，这通常非常困难。通常，对 所有的实际问题，如能确定一个足够 大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不 会超过它就可以了。
(4) 如果对于某个实数>0和任一实数 >0， 在S（）内总存在一个状态，使得始于 这一状态的轨迹最终会脱离开S(），那 么平衡状态称为不稳定的。
第四章 系统运动的稳定性
外部稳定性 Lyapunov意义下的稳定性问题 Lyapunov稳定性理论 线性系统的Lyapunov稳定性分析 Lyapunov函数的构造问题 离散系统的状态运动稳定性及判据 Lyapunov函数的存在性

通常情况下，可以采取两种方式来定 义系统的稳定性，一个是通过输入输 出这两个外部变量之间的关系来表征 的外部稳定性，另外一种是通过零输 入状态运动的响应来表征的内部稳定 性。因为由输入输出表征的外部描述 是系统的一种不完全的描述，所以由 这种关系来表征的外部稳定性也是不 能完全反应出系统运动的稳定特性， 只有在一定的条件下，系统的外部稳 定性才有可能是完全的，也就是等价 于系统的内部稳定性。
临界情况 (Re(s)=0) 稳定
稳定 (Re(s)<0) 渐近稳 定
三 线性系统平衡状态稳定性判据


稳定性判据
内部稳定性与外部稳定性的关系
1．稳定性判据
考虑线性时变自治系统： x(t ) A(t ) x(t ), x(t0 ) x0 由t0时刻从x0出发的偏离平衡状态的运动 即为受扰运动，也就是它的零输入响 应，可以用状态转移矩阵来表示：
则称 xe 为系统的平衡状态或平衡点。
如果系统是线性定常的， f ( x, t ) Ax ， 则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个 唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，
系统将存在无穷多个平衡状态。对于
非线性系统，可有一个或多个平衡状 态，这些状态对应于系统的常值解。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤 立的平衡状态）都可通过坐标变换， ~ ~(~, t ) 的坐标原 统一化为扰动方程 x f x 点，即f(0,t)=0。在本章中，除非特别 申明，我们将仅讨论扰动方程关于原 点( xe 0 )处平衡状态的稳定性问题。 这种“原点稳定性问题” 使问题得到 极大简化，而不会丧失一般性，从而 为稳定性理论的建立奠定了坚实的基 础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
下面给出各种稳定性之间的关系：
非线性时变系统： L稳定 一致稳定 渐近稳定 一致渐稳 按指数稳定 全局渐近稳定 全局一致渐稳 全局按指数稳定
非线性定常系统：一致性概念消失 线性时变系统：全局与局部等价，且按 指数稳定就等价于一致渐近稳定 线性定常系统：全局与局部等价，且一
致性概念消失，渐近稳定就是按指数
x(t ) (t, t0 ) x0
如果存在一个正数k(t0)，使得
(t , t0 ) k (t0 )
则有：
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) x0 k (t0 ) x0
根据L稳定性的定义，对于任意给定的正 数 ，只要选择初始状态 x0 (t0 ) / k (t0 ) 那么 x(t ) k (t0 ) x0 k (t0 ) / k (t0 )
述定义中，实数 与t0无关，则此时平
衡状态称为一致渐近稳定的。
直观含义：第一点平衡状态是laypunov
稳定的，它反映了系统运动的有界性，
由区域S()出发的任何受扰运动都保持
在区域S()内，第二点反映的是运动的
渐近性，也就是从区域S()出发的任何
受扰运动不仅都保持，

t
t0
gij (t , ) d k
或称为有界的，绝对可积的。
定理4.1.1：给定零初始条件下的线性时 变系统， G (t , ) 为脉冲响应矩阵，则系 统为BIBO稳定的充要条件是存在一有 限常数k，使得对一切时间 t [t 0 , ), 脉 冲响应矩阵的每个元 gij (t, )均满足关系 式
它可以渐近地趋向于一个任意小的区 域内，并最终趋近于平衡状态原点。
渐近稳定平衡状态及典型轨迹

从工程应用角度来看，渐近稳定性比 纯稳定性更重要。实际上，渐近稳定 就是工程意义下的稳定，而laypunov 意义下的稳定则是工程意义下的临界 不稳定。

另外对于时变系统，考虑它的一致渐 近稳定性要比渐近稳定性有意义的多。
第二节Lyapunov意义下的稳定性

平衡状态、受扰运动与扰动方程的原
点

Lyapunov意义下的稳定性定义

线性系统平衡状态稳定性判据
一 平衡状态、给定运动与扰动方程 之原点
定义：考虑如下非线性系统 x f ( x, t )
如果在该系统中，总存在
f ( xe , t ) 0, 对所有t
y(t ) g (t , )u( )d
t0 t
当输入有界，可导出
y (t )
t
t
0
g (t , )u ( )d g (t , ) u ( ) d
t0 t t0
t
k1 g (t , ) d
系统的输出要想保证有界，即存在一个有 限常数k使得

t
t0
或等价的说当G(s)为真有理分式函数矩 阵时，G(s)的每个元也就是传递函数 gij(s)的所有极点均具有负实部。
举例：
x1 (t ) e x10 2e v,
t t t
t
t
为卷积运算
t
y x2 (t ) e x20 0.5(e e ) x10 e v

t
t0
g ij (t , ) d k
定理4.1.2：对于初始条件为零的线性定 常系统，初始时刻为t0＝0，G(t)是脉 冲响应矩阵，G(s)是传递函数矩阵， 则系统BIBO稳定性的充要条件是存在 一个有限常数k，使得脉冲响应矩阵的 每个元均满足关系式

t
0
g ij ( ) d k
在左串联一个补偿器之后，系统是 BIBO稳定的，但该系统的BIBO稳定取 决于两个条件，第一是零极点对消， 第二初始条件为零。由于元件老化， 外加扰动信号的作用使得这两个条件 很容易被破坏，此时即使输入有界， 输出也会以et 形式，随着t的增加而无 限增加，最终使系统饱和或受到破坏。