第九章 正弦稳态电路的分析 1内容提要正弦稳态电路的分析应用相量法。

通过引入相量法，建立了阻抗和导纳的概 念，给出了 KCL 、KVL 和欧姆定律的相量形式，山于它们与直流电路分析中所 用的同一公式在形式上完全相同，因此能够把分析直流电路的方法、原理、定律, 例如，网孔法(回路法)、结点法、叠加定理、戴维宇定理、等效电源原理等等 直接应用于分析正弦电路的相量模型，其区别在于：⑴不直接引用电压电流的瞬 时表达式来表征各种关系，而是用对应的相量形式来表征各种关系；⑵相应的运 算不是代数运算，而是复数的运算，因而运算比直流复杂。

根据复数运算的特点, 可画岀相量图，利用相量图的儿何关系来帮助分析和简化计算，从而扩大了求解 问题的思路和方法。

⑶引入了一些新的概念，如平均功率、无功功率、视在功率、 复功率、最大功率传输、谐振等。

认识以上区别，对正弦稳态电路的分析是有益 的。

2例题例1求图示电路中各支路电流i ：, L, i 5il1-R 5Q 解：①画运算电路模型，取网孔电流L 、L 如图。

(5-/2)/. -5/. =100②列网孔方程： '「.-571+(5 + J 5)/2=-J 1OO可用行列式求解：i 一人=29.23 + J6.16 = 29.87Z11.90③ :.i,(r) = 27.73V2cos(^-56.31°) A i 2(r) =32.35^2 c os 伽 -115.35°) A i() = 29.87血 cos伽 + 11.90。

)A 当然此题也可以用结点电压法、或貝它方法。

例2图中电流i 和Uzi 。

已知：Usi = IOO5/2 COS6X Vq 2 =100V2COS (6X + 90°) Vy 100^0°i\ =100-5-ylOO 5 + j5 5-)2一5 ?()()=15.38- J23.07 = 27.73Z - 56.31° A 10+ J155 + )5i 2 =5-)2一5 100 一 J100 300-J5005-J2-5-5 5 + )5 io+，i5 =-13.85-;29.23 = 32.35Z-H5.35« A2U 2=100Z90°工频指f=50HZ(3) i = _^_ = .^S ^55'=L13Z81.87° A■ Z“+Z 15-J45+45④ U ZI =I(Z + Z 2) = 1.13Z81.870x (45 -丿30) = 61.11/48.18° V (-)用结点电压法 如图的参考结点.取独立结点电压为(Jzi ・— 11 1(D+ ------- )= i sz,z, z 3 z 2+z ':.U 71 =人/(丄 + 丄 + —1—)=--- = 61.19Z48.18()Z ，‘ 30 30 45 — )3012乞 41 82° 30I =_U^=61.19Z48.18-=113Z81 870 AZ 2+Z 45 — ）30注意：在用相量法运用复数形式进行+ — X 三运算时要特别细心，稍不注意，就会岀错，尤其是除法.建议大家很认真地多做几个题目，并且由代数表示法到极坐标表示法，步骤不要省略. 还有书上 Pagel98-199,例 9-5, 9-6, 9-7.例3如下图用实验法测左整流器参数的r 和L （也可以是任意阻抗参数）在工频下，使用取样 电阻"50 Q,现测得：V x =50V, V ：=80V, V 3=100V,求 r 和 L 。

①求％: % = isZ II z 3)=皿瓷餌七—43 v（-）用戴维南左理：求a, b 支路以外（左侧）的戴维南等效电路②求 Zcq ： Z cq = Z 2+(Zj II Z 3) = -J30 + 307TZ-45° =15-j45QU Z1 Z2 is “©-j3023 ?-j30 丁30。

可用结点法，回路法戴维南左理等方法. 21zJ45Q如 61.19Z4&18。

= 61.19Z 4&18°• ~~45 — J30 54.08Z-33.69°极易写作 1.13Z48.18°-33.69°= 1.13Z14.49°解：运用相量间关系= 80 = Jr2+(a)L)2③ |Z| =牛=100 = + 50尸 *(应)2=> r = ll X = coL = 79.24 QV・・・ L = — = 0.25/7CD如果不充分利用阻抗模值与电压电流有效值之间的关系，显然计算会复杂很多。

因为初相位并不知道。

再举一个利用相量图求解题目的例子。

例4如图正弦电路，已知电流表A,读数为1A,电路参数如图所示，试求电流表A和电压表 V的读数。

说明一点：交流电压、电流测岀的读数是什么值？一一有效值解：⑦以h作为参考相量，即令i^izo0 A 贝ij u R = loi, = iozo°U L = yioi, = 1OZ9O0②画相量图见右图U = U R +U L1 =10屁45° ・・・电压表V的读数= u = 14・4 V③L =亠二=屁135°' ■-J10I = i,+I2=lZ9O0 A /.电流表A的读数=1 A例5图示正弦电路中正弦电压Us二380V、f二50H乙电容可调，当C二80. 95 n F时，交流电流表A的读数最小，为2.59A,求图中交流电流表免的读数。

思考：只给出了数量关系，给出的并不是相量 （复数形式）。

显然应该在相量图上充分利用平而几 何知识来求解最方便。

方法一•利用相量图 以Us 作为参考相量 感性负载，故L 滞后Us — ••• c 改变，h 并不变，只改 显然：当Ic-Ii Simp,即i Ic= G ） c *Us=2 n f C ・Us=314 此时 1=2.59 A ・•・【I = J 厂+/「=A /2.592+9.662=10 A能否不用相量图，来求解呢？当然可以！ Page201,方法二 思路：I 最小，表示I Y |最小。

（I 1= I Y I • Us）Y = jCOC + ---- 1 -- = — --------- 7 - j —7-^——4- jCOC& + j 叫 R 「+（叫）2 &-+（况J2改变C,只改变Y 的虚部，导纳最小，意味着虚部为0, Us 和i 同相位。

取 U s =380Z0°JllJ I = 2.59Z0°.I c = jcoCUs = )314x 80.59 x 10" X 380= )9.66 Ai = i c +i 1 => 2.59/0° =丿966+1" =I] cos® + j(I, sin (p } +9.66)9.66fl. sin ^,=-9.66 j tg ^,=_259^^,=hcos0=2.59j] = ._2?9_. = IQ ACOS0除此之外，还可以求得Ri 和L“Z 1 =H^ = 38Z75°h:.R] = |Zjcos^2 = 38cos75° = 9.84 Q况]=Izjsiii (p 7 = 36.71 Q36.71 [[厶门 …・•. L. = -- = 116.9 mH1314例6图示正弦电路中，已知电压表、电流表、和功率表的读数分别为69. 3\\ 3A 和180叭8139 uF, /二50Hz,求电路中的R 、L 和整个电路的功率因数cos 讥画相量图,由于h 支路为 个相位角＜p ，ic 超前Us 90° 变ic 的有效值，且i= ii+ic 和Us 同相位时，i 最小，故 X 80.59 XI 0^X380=9.66 An i QAT P = UI cos（f）/. cos/ =——=——--- =0.866 （/）= ±30°UI 69.3x3由此，可以端口电压为参考相捲，画出相量图。

因为“可为正也可为负值，因此有两种情况。

解（一）用相量图•••◎ = ±30。

，由此画出向量图（如上图），注意电流人和/应有两种情况。

■因厶=coCU = 27flJ=3A = I,所以对应12和I的两种不同悄况可求出:12 = 3 A或12 = 21 sin 60° = 3y/3A(二)用解析法••• P = t/ZcosO. ••• cos ①=—=0.866. <D = ±30° UI根据等效导纳故可得到以下方程组••• UIcos^ = P又••• P = I;Rp _j20OTf = [6.67Qy)R2 +(coL)2 =—* -I_ 36・8〃M-[36.8m///.尺=200或6・67 L = 36.8mHcoLR2+(CO L)冷Z±30、例 7 图示电路，已知w v (r) = 50V2cos!0/V, z v (r) = 5%/2cos(10/+30°)A,尺=4C, 厶二 \H • R 》=2d C 2 =0.05F, R 、=2G, C 3=0.05F, & = 2G ,他=2G 。

试用节点法和回路法求支路电流小/3> i 6o 解（一）节点法由于节点③为虚节点，即U 注=-2i"故不需对该节点列节点方程，f/y =50Z0°V t人=5Z30°A , coL } = 10Q ,丄=丄=2Q 。

coC 2 coC 31 1-------- i —匕 I +( ----- 7~ + T D 血 R 七r j 2代入数值，解得U ta =34.3Z«14°V ,匕2=6・73Z — 13・2°,.・.人=丄(1 + j)t/n2=4.76Z31.8°A, U n3 = -213 = 9.52Z-148.2°V2・ U.一〃、/ 匕吐 5丄=Q.87Z8&0。

人，1(、= /.+ 人=4.6Z20.8°A1呂+ j 叫R _ cos30°用+(讥厂23.1厂 coL sin30°coC --- ------- v = ---------斤+(皿严 23.1R _ cos30° R 2+(CO L)2~23.1- coLsin30°COC ---- ; -------- 7 = -----------f/? = 20Q= 6.67L = 36.8/77/7L = 36・8mH则有] __________R 、+j 叫 *:.i}=0.87^cos(10/ + 88°)A, z3 = 4.76^2 cos(10/ + 31.8°)A,/6 =4.6%/2cosG 07 + 20.8°) A(-)回路法1 1 1 •・(& + R2-j + ---------------- 山 + RJi2 + g - J 〒爪=Us叫丄+阿叫R,&4厶1 + (Rq + & + je厶)厶2 一(R\ + jEjis = 2人=2/H代入数值，解得I iX=4.76Z31.8°A, I i2=4.6Z20.8°A ••• i\ =/f2-/s=0.87Z88.0°A, /3=Z n=4.76Z31.8°A, /6 = /2=4.6Z20.8°A3习题9-L在题图9J电路中，己知X C=10QX L=5QR=5Q电压表V I』勺读数为100V,试求电流表A和电压表V的读数.图9」9-2在题图9-2所示频率为500Hz的正弦稳态电路中,电流表A读数为1A,电压表Vi 和V 的读数分别为120V 和100V,试求L 和C.图9-29-3定性绘岀题图9-3电路的电压、电流相量图，当co=lOO,Uab=Ucd, 求电容C 的的值。