Im Ue ju 2e jt
Im U.
2ejtIm源自U.mejt
14
式中
.
.
.
U Ue ju 或U m 2 U
同理
.
.
.
I Ie ji 或 I m 2 I
.
.
把这个复数 U 和U m 分别称为正弦量的有效值相
量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只
具有对应关系，而不是相等的关系。
Z e jZ
R
jX
Z U R2 X 2 I
式中∣Z∣称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电 抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 Z 称为阻抗 角，它等于电压超前电流的相位角，即
Z
u
i
arctg
X R
arctg
XL
XC R
25
4.4.2 复导纳
对于如图4-9 所 示 R、L、C 并联电路，根 据相量形式得 KCL，得到：
角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复
数相除相当于顺时针旋转矢量。
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以e j就相当于把此复数对应的矢量反时针方向
旋转 角。
13
4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
即
•
•
•
•
I m ( 2 U e jt ) I m ( 2 U R e jt ) I m ( 2 U L e jt ) I m ( 2 U C e jt )
所以
I
m
2
U•R
•
UL
•
UC
e
jt
•
•
•
•
•
•
•
u
U U R U L U C I R I ( jX L ) I ( jX C )
Im2 2T
t
T 0
I
2 m
2
I Im 0.707
2
m
同理
U
1 2
U
m
0.707U m
11
4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
4.2.1 复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时， 将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相 减）。如：
A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22 相加、减的结果为： A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
4
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原
点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一
点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐
标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起
点在原点左侧 0 ；反之 0 。
如图4-2
所示，初相分别为0、
2
、
6
、
6
由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的 值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正 弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
所以
Y＝ I ＝ Im U Um
1 Z
,Y
i u
z
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对 于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣Y∣称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对 于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
y称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相
位差，它也等于负的阻抗角。
27
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
4.3.1 基本元件VAR的相量形式
在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数
。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电
u Ri
感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）
的相量形式。
1 、 电阻元件
根据欧姆定律得到
2U sin(t u ) 2RI sin(t i )
上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流 是同相的，相量、波形图如图4-5所示。
0
T
T 0
U R I R
URIR
cos2t dt
URIR
I 2RR
U2 R
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式
与直流电路相似。
2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
iL t 2IL sin tA
则电感电压为：
uL (t)
2
I
L
X
L
s
in(t
2
叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间
变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等
i12
于它们的初相之差。
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零
，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量 同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。 两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不 同时达到最大值，步调不一致，
7
， 量则 正如表 交果示 ；i如112滞果后0i，122 ，则如表果，示则i1超1两2 前个2i正2，;如弦则果量两反个1相2正。弦0
例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
.
。
求：⑴ 求相量U1 和U2 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)
（3） 画出相量图
解（1）U• 1＝141 ＝100 60＝100 e j60 (50 j86.6)V
23
•
U2
70.7
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。
u(t) 2U sin(t u ) Im[ 2Ue j(ttu ) ]
如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
8
图 4 -3 i1与i2同相、超前、正较、反相
9
4.1.3 正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和 一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经 过一个周期的时间产生相等的热量，则这个 周期量的有效值等于这个直流量的大小。电 流、电压有效值用大写字母I、U表示。
50 45 50e j45
(35.35
j35.35)V
24
15
（2）
•
•
•
U U 1U 2 (50 j86.6) (35.35 j35.35)
99.5531 99.55e j31
u(t) 99.55 2 sin(t 31)V
（3） 相量图如图4-4所示
图 4-4
16
4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式
4.5.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A 其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V
则瞬时功率为
28
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt =URIR（1-cos2ωt）W
图 4-7 电感元件的波形、相量图
22
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.4.1 复阻 抗设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-
8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压
分别为uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口电压为 u (t)。
ui
图 4-8
23
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
•
•
•
•
I IR IL IC
图 4-9 RLC并联电路
•
•
•
•
I G U R ( jBL U L ) jBC U C
•
•
•
GU ( jBL U ) jBC U
•
[G j(BL BC )]U
•
[G jB]U
•
YU
26
由于
•
Y
I
•
U
.
Ie ji Ue ju
I e j(i u ) Y e jY U
同频率正弦量的相位差，不随时间变化， 与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便 ，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其 中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦 量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较， 即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量 之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个 为参考正弦量。
u i 90
上式表明电感上电流滞后电压为90°。
通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗，它是电 压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。对于 一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感 越大，反之越小。在直流情况下，频率为零， XL=0，电感相当于短路。
21
电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以 看出，电感上电流滞后电压为90°。
由于cos2ωt≤1,故此
pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0
其瞬时功率 的波形图如4-10 所示。由图可见， 电阻元件的瞬时 功率是以两倍于 电压的频率变化 的，而且pR（t） ≥0，说明电阻元 件是耗能元件。
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
29
电阻的平均功率
PR
1 T
T p(t)dt 1
复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。