定理1 若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有
Re[a A(t)] a Re[A(t)]
定理2 若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有
Re[A(t) B(t)] Re[A(t)] Re[B(t)]
定理3 若A为复数,其极坐标形式为 A 。Am则e有jt
d dt
Re[ Ame jt ]
um 正弦量的振幅
正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢
u
正弦量的初相位，表示其起始值的大小
规定 u的取值范围为： u
u可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前
为负时，最大值发生在计时时刻之后
u (t ) Um
u (t ) Um
u
t
u
t
u(t) Um cos(t u )
u(t) Um cos(t u )
相位差定义为： 12 (t 1) (t 2) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时 间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数 （2）两正弦量必须具有相同的频率 （3）初相位要小于π
例：
u(t) 10cos(100t 30)
i(t) 5sin(100t 15)
比较上两式可得
u(t) Re[ 2Ue j(tu ) ] Re[ 2Ue ju e jt ]
有效值相量 振幅相量 两相量之间的关系
•
U Ue ju U u
•
U m Ume ju Umu
•
•
Um 2U
引入相量后，正弦电压又可表示为
本章的主要内容
6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 6-6 三相电路
6-1 正 弦 量
6-1-1 正弦量的三要素
正弦电压的瞬时值可表示为：
u (t ) Um
u(t) Um cos(t u )
u
t
W1
T
p(t)dt
o
T Ri2 (t)dt
o
直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为
W2
T RI 2dt RI 2T
o
如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即
RI 2T T Ri 2 (t)dt o
I 1 T i2 (t)dt
T0 则将电流I 定义为周期电流信号 i(的t)有效值。
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。
复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路中 应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
Re[ d dt
Ame jt ]
Re[
j Ame jt ]
定理4 若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[Be jt ]
则 AB
6-2-2 正弦量的相量表示法
正弦电压 复指数函数
u(t) 2U cos(t u )
2Ue j(tu ) 2U cos(t u ) j 2U sin(t u )
第6章 正弦稳态电路分析
一、什么是正弦稳态电路
动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制 响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时 间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。 这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。 在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电 路。
6-2-1 复 数
一．复数的概念 一个复数 A 有四种数学表达形式：
直角坐标形式： A a jb
指数形式： A | A | e j
j
b
| A|
O
a 1
三角形式： A | A | (cos j sin )
极坐标形式： A | A |
复数在复平面上用矢量表示
二．复数运算规则
复数的加、减运算
A A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
6-2 正弦量的相量表示法
正弦量为什么要用相量表示？
正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应， 只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了
相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算。
6-1-2 正弦量的相位差
在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量， 因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦 电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间 的相位关系，引入“相位差”的概念。
设两个同频正弦量为：
i1(t) 2I1 cos(t 1)
u2(t) 2U2 cos(t 2)
当周期电流为正弦电流时 i(t) Im cos(t i )
代入上式，可得正弦电流的有效值I为
I
1 T
T 0
[
I
m
cos(t
i
)]2
dt
Im 2
0.707Im
正弦电流也可表示为
i(t) 2I cos(t i )
同理可得正弦电压u（t）的有效值为
U
Um 2
0.707U m
有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的交 流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注的 额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的电 压220V，指的就是电压的有效值。
u(t) 10cos(100t 30) i(t) 5cos(100t 15)
6-1-3 正弦量的有效值
在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。
当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为
复数的乘、除运算
A1 A2 | A1 | e j1 | A2 | e j2 | A1 || A2 | e j(12 ) | A1 || A2 | (1 2 )
A1 A2
| |
A1 A2
Hale Waihona Puke | |e ej1 j2
| A1 | e j(12 ) | A2 |
| |
A1 A2
| |
(1
2
)
三、复数运算定理