第一章集合与简易逻辑•网络体系总览•考点目标定位1•理解集合、子集、补集、交集、并集充的概必念要条解属于、包含、相等关系的意义 2•掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合3•理解逻辑联结词“或” “且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条 件的意义•4•学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思 维品质• •复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念， 元素与集合、集合与集合之间的关系， 集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容•逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容•本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1•复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面 是对集合知识的应用•2•主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对 集合中的元素的属性要分清楚 •3•要注意逻辑联结词“或” “且”“非”与集合中的“并” “交”“补”是相关的，二者相 互对照可加深对双方的认识和理解 •4•复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌 握逻辑知识的目的•5•集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通1.1 集合的概念与运算•知识梳理 1•集合的有关概念2•元素与集合、集合与集合之间的关系 （1） 元素与集合：或“ "•（2） 集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 3•集合的运算（1） 交集：由所有属于集合 A 且属于集合B 的元素所组成的集合， 叫做集合A 与B 的交集，记为 A A B ,即卩A A B={x|x € A 且x € B}.（2） 并集：由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合B 的并集，记为 A U B ，即A U B={x|x € A 或x € B}.（3） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A U S ）,由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为」S A ,即's A={xx € S 且 x 「A}.•点击双基1. （ 2004 年全国 n, 1 ）已知集合 M={ x|x 2V 4} , N={ x|x 2— 2x - 3v 0}，则集合 M A N 等于 A.{x|x v — 2}B.{x|x >3}C.{x|— 1 v x v 2}D.{ x|2v x v 3}解析：皿=例/< 4}={ x|— 2 v x v 2} , N ={ x|x 2 — 2x — 3v 0}={ x|— 1 v x v 3}，结合数轴，••• M A N={ x|— 1v x v 2}. 答案：C2. （2005年北京西城区抽样测试题）已知集合 A={x € R |x v 5 — , 2 }, B={1 , 2, 3, 4},则（* R A ）A B 等于A.{1 , 2, 3, 4}B.{2 , 3 , 4}C.{3, 4}D.{4}解析：*R A={ X € R |x > 5— .2},而 5— 2 €（ 3 , 4） , •（」R A ）A B={4}. 答案：D3. （ 2004 年天津，1）设集合 P={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , Q={x € R |2<x < 6},那么下列结 论正确的是A. P A Q=PB.P A Q 手 QC.P U Q=QD.P A Q~P解析：P A Q={2 , 3 , 4 , 5 , 6}, • P A Q 二P.答案：D4. ___________________________________________________ 设U 是全集，非空集合 P 、Q 满足P ：Q ：U ,若求含P 、Q 的一个集合运算表达式， 使运算结果为空集0,则这个运算表达式可以是 ____________________________________________________________ .解析：构造满足条件的集合，实例论证 .xU= {1 , 2, 3}, P= { 1}, Q= { 1 , 2},则(，u Q ) = {3}, (' UP ) ={2 , 3}，易见(* u Q )n P= .答案：(「u Q )n P5•已知集合 A ={ 0, 1}, B ={ x | x € A , x € N *}, C ={ x | x 匸 A },则 A 、B 、C 之间 的关系是 _________________________ •解析：用列举法表示出 B ={ 1} , C ={",{ 1} { 0} , A },易见其关系.这里A 、B 、 C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系， 不同层次的集 合之间只能是从属关系•答案：B ・A , A € C , B € C •典例剖析"xX € P【例1】(2004年北京，8)函数f (x )=』’其中P 、M 为实数集R 的两-x x E M ,个非空子集，又规定 f (P ) ={y|y=f (x ), x € P}, f (M ) ={y|y=f (x ) , x € M}.给出下列四个 判断，其中正确判断有①若P n M=._ ,贝U③若 P U M=R ,贝U f (P )A.1个剖析：由题意知函数而f ( P )n f ( M ) = : f (X 1), + o )M ,故①错误侗理可知②正确.设P= :X 1 , +a), M= (-a , X 2： , T |X 2|<X 1| ,贝U P U M= R .f ( P ) = : f (X 1), +a) , f ( M ) = : f (X 2) , +o),f ( P ) U f ( M ) = : f (X 1), + o)M R ,故③错误.同理可知④正确. 答案：B【例 2] 已知 A={ x|x 3 + 3x 2 + 2x > 0}, B={x|x 2 + ax + b < 0}且 A n B={x|0< x < 2}, A U B ={ x | x >- 2},求 a 、b 的值.解：A={ x| — 2< x <- 1 或 x > 0},设 B= : X 1 , X 2L 由 A n B= (0 , 2]知 X 2 = 2 , 且一1< X 1 w 0 ,f (P )n f (M ) = ._ ②若 p n M 丰、,贝y f ( P )n f (M )工 U f ( M ) =R ④若 P U M 工 R ,贝y f ( P )U f ( M R B.2个C.3个D.4个f ( P )、f ( M )的图象如下图所示.设 P= :X 2 , + a) , M=(- :f (x 1) ,+a),贝y P n M=.一.oo xd , •/ |x 2|< |X 1| , f ( P ) = : f (X 2), +a) , f ( M )=①由A U B= (- 2, + s)知一2<x1< - 1.②由①②知X i=— 1 , X2= 2, --a = — ( X i + X2 )= —1, b = X i X2= —2.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.深化拓展(2004年上海，19)记函数f (x) = |2 _ % +3的定义域为A, g (x)=\ x+1lg [(x- a—1) (2a —x) (a v 1)的定义域为B.(1)求 A ；(2)若B二A，求实数a的取值范围.提示：(1)由2—口 >0,得—1>0,x+1 x+1x v—1 或x> 1,即卩A= ( — a, —1)U[ 1, + .(2)由(x — a —1) (2a —x)> 0,得(x — a —1) (x —2a) v 0.a v 1,.. a+1 >2a. - - B= (2a, a+1).1•/ B-A,. 2a> 1 或a+1w—1，即a》—或a< —2.21 、而 a v 1,.. — w a v 1 或a w —2.2一1故当B A时，实数a的取值范围是(一a, —2]U[ — , 1).2【例3】(2004 年湖北，10)设集合P={m—1v m W 0} , Q={m € R|mx2+4mx —4v 0 对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是A.P-QB.Q PC.P=QD.P A Q=Q剖析：Q={m€ R|mx+4mx— 4 v 0对任意实数x恒成立},对m分类：①m=0时，—4 v 0恒成立；②m v 0 时，需△ = (4m) 2—4x m x (—4)v 0,解得m v0.综合①②知m W 0,. Q={m€ R|m w 0}.答案：A评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.【例4】已知集合A={ (x, y) x2+mx—y+2=0} , B={ (x, y) |x—y+ 仁0 , 0w x w 2}, 如果A A B M ._ ,求实数m的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线求+mx —y+2=0与线段x—y+仁0 (0w x w 2)有公共点，求实数m的取值范围” •这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质2x + (m—1) x+1=0.①•/ A A B M ._ ,.方程①在区间[0, 2]上至少有一个实数解.首先，由△ = ( m —1) —4》0，得m》3或m w —1.当m》3时，由x1+x2= —( m—1) v 0及X1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当m w—1时，由x1+x2=—( m—1) > 0及X1X2=1 >0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0, 1 ]内，从而方程①至少有一个根在区间[ 0, 2]内.综上所述，所求m的取值范围是(—a, —1].「2丽, x +mx — y+2=0,解：由丿' 得X—y+1 =0(0 兰xE2),评述：上述解法应用了数形结合的思想 •如果注意到抛物线 x 2+mx - y+2=0与线段x — y+仁0 ( O W x < 2)的公共点在线段上， 本题也可以利用公共点内分线段的比 入的取值 范围建立关于m 的不等式来解.深化拓展设 m € R , A={ (x , y ) |y= — 3 x+m}, B={ (x , y ) |x=cos 0 , y=sin 0 , O v 0 v 2 n }, 且 A A B={ (cos 0 1, sin 0 1), (cos 0 2, sin 0 2) } ( 0 产 0 2),求 m 的取值范围.提示：根据题意，直线 y=— . 3 x+m 与圆x 2+y 2=i (X M 1)交于两点，•••11v 1 且 0M —阴 x 1 + m.12 (― 3)2••— 2v m v 2 且 m M 3 .答案：—2v m v 2且m M 3.答案：C2. (2004 年上海，3)设集合 A={5 , log 2 ( a+3) },集合 B={ a , b}.若 A A B={2}, 则 A U B= ____________ .解析：••• A A B={2} , • log 2 (a+3) =2. •- a=1. •• b=2.• A={5 , 2}, B={1 , 2}. • A U B={1 , 2 , 5}.答案：{1 , 2 , 5}3. 设 A={ x|1v x v 2} , B={x|x >a},若 A^B ,贝U a 的取值范围是 _______________________ . 解析：A ：B 说明A 是B 的真子集，利用数轴(如下图)可知 a < 1.-lu —1 .a 12答案：a W 124. ________________________________________________________________________ 已知集合A={x € R |ax +2x+仁0 , a € R }只有一个元素，则a 的值为 __________________________1 解析：若a=0 ,则x=—.2右 a M 0, △ =4 — 4a=0 ,得 a=1. 答案：a=0或a=15. ( 2004年全国I,理6 )设A 、B 、丨均为非空集合，且满足 A B I ,则下列各式中•闯关训练 夯实基础1. 集合 A={ (x , y ) |x+y=0} , B={ A. (1,— 1) C.{ (1 , — 1) } ” 一 "x + y =0 "x =1,解析：q』IX —y =21.(x , y ) |x — y=2}，则 A A B 是x =1B.丿y = —1D.{1 , — 1}D.(」i A )n (「i B )=」i B解析一：••• A 、B 、丨满足A ^B ^I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都是正确的.■ (x -3)(x -1)的定义域为集合 N.求:(1) 集合 M 、N ; (2) 集合 M n N 、M U N.3 解：(1) M={x|2x — 3 > 0}={ x|x > }；N={x| (x — 3) (x — 1)> 0}={ x|x > 3 或 x w 1}. (2) M n N={ x|x > 3};3 M U N={ x|x < 1 或 x >— }.2培养能力27.已知 A={x € R |x +2x+p=0}且 A n {x € R |x >0}= •-，求实数 p 的取值范围. 解：••• A n {x € R X >0}= 一 ,•••( 1)若 A=⑺，则△ =4 — 4p V 0,得 p > 1; (2)若 A 工._ ,则 A={ x|x < 0}, 即方程x 2+2x+p=0的根都小于或等于 0. 设两根为X 2,则A = 4 -4 p 丄0,:X 1 + X 2 = —2 兰 0, •• 0w p w 1.“x 2 = p ^0.综上所述,2 2 2 21(x , y ) | ( x+2) +( y — 3) < 4}, Q={(x , y ) | (x+1) + (y —m ) <一 },4且p n Q=Q ,求 解：点集P 表示平面上以 01 (— 2, 3)为圆心，2为半径的圆所围成的区域(包括圆 1周)；点集Q 表示平面上以 02 (— 1, m )为圆心，—为半径的圆的内部•要使P n Q = Q , 2应使O O 2 内含或内切于O O 1.故有I O 1O 2I R 1 — R 2)［即(—1 + 2) 2+( m — 3)2错误的是A. ( I A )U B=IB. (I A)U( 11 I B ) =IC.A n(」i B )=.. 解析二：设非空集合 根据设出的三个特殊的集合答案：B6. (2005年春季北京, A 、B 、I 分别为 A={1}, A 、B 、I 可判断出A 、 B={1 , 2}, I={1 , 2, 3}且满足 A B I.C 、D 都是正确的.15)记函数 f (x ) =log 2(2x — 3)的定义域为集合M ，函数g (x )=8•已知P={ m 的取值范围.I1 2 5 詣w( 2—).解得3- w m W 3+ ■.2 2 2评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题探究创新9.若B={ X|X2—3X+2 v 0}，是否存在实数请说明你的理由.解：••• B={x|1v x v 2}，若存在实数(1)或a=1. a,a=a2,即a=0或a=1时，此时(2)a<、2 ,a，使A={X|X2—( a+a2) x+a3v 0}且A n B=A?使 A n B=A，则A={ X| ( X— a) ( X— a2)v 0}. A={X| (X— a) 2v 0}=：，满足A n B=A, • a=02 2a > a，即a > 1 或a v 0 时，A={ X|0v x v a }，要使A n B=A，则*(3)若a2v a，即0v a v 1 时，A={x|a v x v a2}，要使A n B=A，则丿^<2a^^1" aW 2,综上所述，当Ka w ,2或a=0时满足A n B=A，即存在实数a,使A={X|X2—(a+a2) X+a3v 0}且A n B=A 成立.•思悟小结1. 对于集合问题，要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) 此类问题的方法.2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算3. 含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理4. 集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通数形结合、分类讨论等数学思想.•教师下载中心教学点睛1. 对于集合问题，要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) 此类问题的方法.2. 集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通3. 强化数形结合、分类讨论的数学思想. 拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义则M —( M —N)等于A.NB.M n N解析：M —N={x|x€ M且N}是指图(1)，然后确定处理.解决问题时常用，然后确定处理M与N的差集为M —N={x|x€ M且x ' N},C.M U N中的阴影部分•D.M(2)(1)同样M —( M —N)是指图(2)中的阴影部分.答案：B【例2】设集合P={1 , a, b}, Q={1 , a2, b2}，已知P=Q，求i+a2+b2的值.解：••• P=Q,2a = a , (2)p =b2①a =b2, p =a2.②解①得a=0或a=1 , b=0或b=1.(舍去) 由②得a=b2=a4,「. a=1 或a3=i.a=1不合题意，二a3=i (1).…a= co , b= 3 ，其中co = —— + — i2 2 '2 2 2 4 2故1+a +b =1+ 3 + 3 =1+ 3 + o =0.。