圆板结构理论和试验模态分析
魏光涛 杨毅 闫桂荣
（西安交通大学强度与振动实验室，西安 710049）
摘要：圆形薄板是常见的工程构件，深入了解该结构的动力学特性对工程应用具有重要意义。

本文基于LMS b 系统，应用跑点法和互易法对圆形薄板进行了模态试验，并将结果同理论及有限元结果作比较，得到较好结果。

关键词：LMS 圆形薄板 模态试验 分析
1 概述
圆板广泛应用于各工程领域之中。

W.Leissa [1]详细介绍了板弯曲振动理论。

圆板的振动可分为弯曲振动和面内振动。

对于弯曲振动问题，文献[2]提出用Bessel 函数来求解方程，在文献[3]中通过模态试验给出了板自由振动的各阶模态。

对于板的面内拉伸扭转振动，V on P. Zimmermann [4]给出了面内振动方程的详细求解过程，Ta Ming Liu [5]继续前人的工作，给出了圆板、三角板、方板等不同形状板面内振动的解析解。

本文应用LMS b 系统分别采用跑点法和互易法对圆形薄板体结构进行模态试验，对其本身的固有动态特性进行分析，并将结果同理论和有限元结果进行比较。

2 圆板弯曲振动理论模型
极坐标下圆板弯曲的自由振动方程为：
2'
4
2D w h 0
w
t ρ∂∇+=∂
其中：222
222
11r r r r θ
∂∂∂∇=++∂∂∂，3'
2Eh D 12(1)ν=−，ρ为材料密度，h 为圆板厚度，w 为圆板挠度。

设解的形式为：(,)cos w W r t θω=，其中：
[]0
****
1
W(,)()()()()cos [()()()()]sin n n n n n n n n n n
n
n n n n n n n r A J kr B Y kr C I kr D K kr n A J
kr B Y kr C I kr D K kr n θθθ
∞
=∞
==++++
+++∑∑
已知自由边界条件为：r r M ()0,V ()0a a ==。

其中r M 为弯矩，r V 为等效剪力。

通过求解该方程并结合自由边界条件，可以求得圆板弯曲振动的固有频率。

3.试验模态分析原理概述
试验模态分析是理论模态分析的逆过程。

首先，试验测得激励和响应的时间历程，运用数字信号处理技术求得频响函数（传递函数）或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型，根据频响函数的定义(以粘性比例阻尼系统为例)，表达式为
11121212222
112......1()...i i i i i ni n i i i i i ni i i i i ni i ni i ni ni H k m j c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕωωωϕϕϕϕϕϕ=⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦∑##%#
所以频响函数矩阵的每个元素都包含该振动系统的各阶模态参数i i i m k c 、、，频响函数矩阵的
每一行或每一列都包含着该振动系统各阶模态矢量i ϕJ G
；
其次，运用参数识别方法，求得系统的模态参数（模态质量、模态阻尼等参数），模态参数识别就是采用实测频域数据通过某种误差准则极小的优化算法，确定结构系统的模态参数。

本次实验中识别振型外的其他模态参数时采取跑点法和互易法。

跑点法的原理是单点激励多点响应识别。

互易法的原理是多点激励多点响应识别，其核心思想是将激励和响应互易来识别系统模态参数。

最后，进一步确定系统的物理参数（系统的质量、刚度、阻尼等）。

4 模态试验 4.1 试验条件
圆形薄板结构如图1所示，其中圆形薄板的尺寸为：半径182.5a mm =，厚度8h mm =，所用材料为Q235号钢。

圆形薄板结构在b 系统中的几何建模如图1所示。

为了较好地观察
圆形薄板的振型，试验模型布置了55个测点。

图1 圆形薄板结构模型
4.2 激励方法、传感器布置及支撑方式
跑点法采用单点激励多点响应的方法，激励方式为锤击法，选取（2，26，52）作为激励点，激励方向沿圆板法向。

在所有测点上布置传感器，由于传感器数量限制，每次布置18个传感器，移动传感器直至测完所有测点为止。

传感器拾取测试方向为法向和切向。

用海绵支撑模拟自由边界条件。

互易法采用多点激励多点响应的方法，选取（16，45，55）作为响应点布置传感器，拾取测试方向为法向。

利用锤击法依次分别敲击所有测点，激励方向为法向。

用弹性绳悬吊圆板来模拟自由边界条件。

5 结果对比
试验中跑点法和互易法使用的测试软件为b系统中的Modal Impact, 分析软件均为Modal Analysis 。

所选频带为0-2000Hz，得到各点的传递函数如图2所示：
图2（a） 跑点法—圆形薄板结构各测点传函
图2（b）互易法—圆形薄板结构各测点传函
表1列出下圆形薄板模态试验模型与理论模型、有限元模型在自由边界条件下自由振动时0--2kHz范围内固有频率。

其中误差1是互易法结果相对理论解结果的误差（以理论解为基准），误差2是互易法结果相对有限元结果的误差（以有限元为基准）。

表1 三种模型自由边界固有频率比较
模态数 模态试验结果 理论解(Hz)有限元解(Hz)误差
跑点法(Hz) 互易法（Hz）误差1（%） 误差2(%)
1 336.579 339.869 333.6904 316.7 1.8515977.315756
2 439.868 442.744 521.3189 531.68 15.0723316.72735
3 742.269 748.972 760.7949 735.51 1.554019 1.830295
4 1081.378 1090.156 1205.032 1210.6 9.53302
5 9.9491165 1266.431 1278.353 1323.317 1290.7 3.397825 0.9566136
1914.416
1905.797
2018.853
1980.5
5.600011
3.771926
三种模型的振型如图3所示：
图3 三种模型振型比较
6 结论和存在的问题
通过本实验可以得到以下结论：
（1）互易法与跑点法得到的圆板固有频率较为接近。

互易法选择悬挂圆板的方法，更接近自由边界条件。

跑点法选择平放圆板于海绵之上，圆板承受传感器的重量，查看振型动画可知，传感器的重量对圆板振型存在影响。

（2）跑点法、互易法、理论模型、有限元模型得到固有频率及振型基本一致。

同时本实验还存在一些问题：
（1）实验模型得到的圆板第二阶固有频率（440Hz左右）同理论模型、有限元模型得到的结果（分别为521Hz、531Hz）相差较大。

（2）互易法得到的圆板第三、六阶振型与其余三种方法得到的振型不同。

其中可能涉及到模态参数识别时的算法选择问题。

本文基于LMS b 系统应用跑点法和互易法对圆形薄板进行了试验模态分析，得到了结构在自由边界条件下0～2000Hz 内自由振动的各阶固有频率和振型，并将结果同理论、有限元结果相互验证，得到较为理想的结果。

然而实验中还存在一些问题，需要与LMS工程师共同协商解决。

参考文献
VIBRATION OF PLATES: Ohio State University.
1. W.Leissa,
2. JOHN R.AIREY, M.A., B.Sc.,, The Vibrations of Circular Plates and their Relation to Bessel Functions. 1911,
late Scholar of St. John’s College, Cambridge.
3. MARY D.WALLER, B.S., F.INST.P.,, VIBRATIONS OF FREE CIRCULAR PLATES.P ART1:NORMAL MODES.
1937, London (Royal Free Hospital) School of Medicine for Women.
V.P.,
Erzwungene und freie unged/impfte Schwingungen kreisf6rmig begrenzter Scheiben.
4. Zimmermann,
Ingenieur-Archiv, 1971(40): p. 377--401.
5. Stanley S. H. Chen, T.M.L., Extensional vibration of thin plates of various shapes. Acoust. Soc.Am., 1975.
58(4).。