2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U C A =（ ）．A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】：C【解析】：∵全集{}1,2,3,4,5U =， {}1,3A =∴A 的补集{}2,4,5U C A = ∴正确答案为C2．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（ ）．A ．(2,0)-，(2,0)B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,2)-，(0,2)D ．(0,2)-，(0,2)【答案】：B【解析】：双曲线 2213x y -=，其中23a =，21b =∴222314c a b =+=+=∴双曲线的焦点坐标为(2,0)-和(2,0) ∴正确答案是B3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】：C 【解析】：由三视图可知，原图如下：V S h =⋅底【注意有文字】(12)222+⨯=⨯ 6=∴正确答案为C4．复数21i -（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --【答案】：B【解析】：222(1)2(1)11(1)(1)1i i i i i i i ++===+--+-∴其共轭复数为1i + ∴正确答案为B5．函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】：D【解析】：函数2sin 2xy x =是奇函数，其函数图象关于原点对称 ∴排除A ,B 选项又∵当(,0)x π∈-时，函数有零点2x π=-∴正确答案为D6．已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】：A 【解析】：∵m α⊄，n α⊂，m n ∥可以推出m α∥∴“m n ∥”是“m α∥”的充分条件 又∵m α⊄，n α⊂，m α∥不能推出m n ∥ ∴“m n ∥”不是“m α∥”的必要条件 综上“m n ∥”是“m α∥”的充分不必要条件 ∴正确答案是A7．设01p <<，随机变量ξ的分布列ξ 0 12 P12p- 122p则当p 在(0,1)内增大时，（ ）．A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小【答案】：D 【解析】：111()0122222p p E p ξ-=⋅+⨯+⨯=+22211111()012222222p pD p p p ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 214p p =-++21122p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴p 在(0,1)上增大时，()D ξ先增大后减小 ∴正确答案为D8．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）．A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】：D【解析】：∵线线角大于或等于线面角，二面角大于或等于线面角∴12θθ≥，32θθ≥ ∴正确答案是D9．已知a ，b ， e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）．A 1B 1C ．2D ．2-【答案】：A【解析】：43()(3)0b e b b e b e -⋅+=--=r r r r r r r设(1,0)e =r ，(,)b x y =r∴2(1)(3)0x x y --+= ∴22(2)1x y -+=如图a b BA -=r r u u u r 而BA u u u r在O A OA '⊥时最短，此时31a b BA OA OB -==-=r r u u u r u u u r u u u r ∴正确答案是A10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）．A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >【答案】：B【解析】：若0q >，则12341231a a a a a a a +++>++> ∴12341234123ln()ln()a a a a a a a a a a a +++>+++>++ ∴123ln()0a a a ++>∴2312341(1)0a a a a a q q q +++=+++> ∴4101q q ->- ∴20a <∴2113a a q a >=，2224a a q a <= ∴正确答案是B非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五．鸡母一，值钱三．鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁．母．雏各几何”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则1001531003x y zx y z++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z=时，x=__________，y=__________．【答案】：8x=，11y=【解析】：将81z=代入，得195373x yx y+=⎧⎨+=⎩∴811xy=⎧⎨=⎩12．若x，y满足约束条件262x yx yx y-⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y=+的最小值是__________，最大值是__________．【答案】：2-；8【解析】：通过不等式组，画出可行域，如图：∴(2,2)A,(4,2)B-∴3z x y=+的最小值是2-，最大值是813．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若7a=2b=，60A=︒，则sin B=__________，c=__________．【答案】3 【解析】：∵a 2b =，60A =︒，∴sin A =∵sin sin a b A B=∴sin B =∴1sin sin()214C A B =+==∴sin sin c a C A ==∴3c =14．二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的常数项是__________．【答案】：7【解析】：由通项公式81812rr rr T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭， ∴求常数项可得：8()03rr -+-=， ∴2r = ∴常数项是28174C ⨯= 15．已知R λ∈，函数24()43x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是__________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．【答案】：14x <<；13λ<≤或4λ>【解析】当2λ=时，242()432x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，图象如下：则()0f x <的解集为14x << 若函数()f x 恰有2个零点：① 二次函数有两个零点，一次函数没有零点，则4λ>； ② 二次函数有一个零点，一次函数有一个零点，则13λ<≤； 综上可得13λ<≤或4λ>16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【答案】：1260 【解析】：分两种情况： ① 包含0的四位数：21435343()540C C A A ⨯⨯-=;②不包含0的四位数：224534720C C A ⨯⨯=∴一共有1260种．17．已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r 则当m =__________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】：5 【解析】：设直线:1AB y kx =+∴2241x y m y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩∴2222104x k x kx m +++-= ∴122814k x x k +=-+，1224414mx x k-=+ ∵2AP PB =u u u r u u u r∴122x x =- ∴121614k x k -=+， 22814kx k =+ ∴2232(1)(14)k m k -=-+若B 的横坐标的绝对值最大，则228821144x k k k==++≥， 当且仅当12k =时，5m =． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 18．（本题满分14分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求sin(π)α+的值．（Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值． 【解析】：(1)445-=-3cos 5α=-4sin()sin 5παα+=-=(2)∵5sin()13αβ+=∴12cos()13αβ+=±①当12cos()13αβ+=时， cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+⋅++⋅12354135135⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5665=-②当12cos()13αβ+=-时， 12354cos 135135β⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1665=综上：56cos 65β=-或1665．19．(本题满分15分)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，=120ABC ︒∠，1=4A A ，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1111AB A B C ⊥平面．（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解析】：(1)过1B 作11B E AA ⊥于点E 过1C 作11C F BB ⊥于点F12B E AB == 12AE BB == 12A E =∴22111122A B A E B E +221122AB BB AB +14AA =∴2221111A B AB AA += ∴111AB A B ⊥ 又12C F BC ==,11B F =∴11B CAC =∴1AC ∴22211111A B B C AC += ∴111AB B C ⊥ ∵11B C ⊂平面211A B C11A B ⊂平面111A B C∴1AB ⊥平面111A B C(2)以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系则：(0,0,0)A1(0,0,4)AB1B1C∴1AC =u u u u r1AB =u u u u r1(0,0,4)AA =u u u r设(,,z)n x y =r的法向量20x z +=40z =∴(n =rsin AC n AC n AC n⋅⋅=⋅u u u r r u u u r ru u u r r=．20．(本题满分15分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项，数列{}n b 满足11b =，数列{}1()n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． （Ⅰ）求q 的值．（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式． 【解析】：(1)∵34528a a a ++=，4352(2)a a a +=+ ∴233328a a q a q ++=233324a q a a q +=+ ∴34a =，2q = ∴12n n a -=，2q =(2)设n S 为{}1()n n n b b a +-的前n 项和即22n S n n =+∴112111()(2)()3(1)n n n n n b b a S S n b b a S n +--⋅=-≥⎧⎨-⋅==>⎩∴1()41n n n b b a n +-⋅=-∴11412n n n n b b +---= 12452n n n n b b ----=M 21032b b -=累加得：110113741222n n n b b +---=+++L 令0113741222n n n T --=+++L 121137454122222n n n n n T ---=++++L ∴147142n n n T -+=-∴1147152n n n b +-+=- ∴243152n n n b -+=-21．(本题满分15分)如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围．【解析】：（Ⅰ）设11(,)A x y ,22(,)B x y (,)m m M x y ，(,)p p P x y∴2112224(1)4(2)y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (1)(2)-得：121212()()4()y y y y x x -+=-∴1212124422m my y x x y y y y -===-+ 又∵11(,)22p px x y y E ++ 22(,)22p p x x y y F ++E ,F 在抛物线上 ∴211()()442p p y y x x ++=⋅2211128()p p p y y y y x x ++=+∵2114y x =∴221248p p p y y y x x +=+ (3) 同理222248p p p y y y x x +=+ (4) (3)(4)- 12122(y )4()p y y x x -=-∴12122p y y x x y -=- ∴22m py y =∴m p y y = ∴PM y ⊥轴 （Ⅱ）1212PAB m p S x x y y =-⋅-V 221212128p y y x y y +=⨯-⋅-21212()-2-8128p y y y y x +=⨯由第（Ⅰ）问可知2221112242p p p y y y y y x ++=+，2222222242p p p y y y y y x ++=+ 可知122p y y y +=，212008y y x y ⋅=-∴3224)p p S y x =-又∵2214p p x y +=，[)1,0p x ∈-∴21p p S x =+-∴PAB △面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦22．（本题满分15分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，2x 12()x x ≠处倒数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）若34ln2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【解析】：（Ⅰ）(x)ln f x =11()2f x x'=-= 当4x ≥时，()f x 单调递增 04x <<时， ()f x 单调递减 ∵12()()f x f x ''=12==∴12124(x x x x =++12124(x )x x x -+> 12()x x ≠∴12x x >16>∵1212(x )(x )ln ln f f x x +=+-12ln(x )x =16t > 12()()()f x f x g t += 21(t)ln 2g t t =-4(t)2t g t-'=当4t >时，(t)g 单调递增 ∴(t)(16)88ln 2g g >=- ∴12()()88ln 2f x f x +>-（Ⅱ）设函数()ln g x x kx =-，则1()g x k x '--=①当1160k ∆=-≤时，即116k ≥ 此时()0g x '<恒成立 则()g x 在(),-∞+∞单调递减ln x kx a -=只有一个实数根 ②当1160k ∆=->时，即1016k << 设1x ，2x 为()0g x '=的两个根∴()g x 在1(0,)x 单调递减，在12(,)x x 单调递增，在2(,)x +∞单调递减∵111()ln g x x kx =-1220kx -+=∴11()ln 1g x x =+，34ln2a -≤10,16k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,4t =则2()ln 12tg t t =-+ 4()2t g t t-'=∴()g t 在()2,4上单调递减 ∴()()432ln 2g t g >=-∴34ln2a -≤ln x kx a -=只有一个实数根 综合得证。