则称1,2,,r 是 V的一个规范正交基.
14
例如 设
e1
1
2
1
2 0
0
,
1
2
e2
1
2 0
0
,
e3
0
0
0 0
1
2 1
2
,
e3
1
2 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
e1 , e2 , e3 , e4 就是R4的一个规范正交基.
[e1 , e2 ] [e1 , e3 ] [e1 , e4 ] 0, [e2 , e3 ] [e2 , e4 ] 0, [e3 , e4 ] 0,
1
1
13
3. 规范正交向量组和规范正交基
设n维向量组1,2 ,,r 是向量空间V (V Rn )
的一个基，若满足
⑴ 1,2,,r两两正交，即
当i j 时，[i , j ] iT j 0;
⑵ 1,2,,r都是单位向量，即 i [i ,i ] iTi 1,(i 1,2,, r)
]
1;
3
3
[ 3 , 1 ] 1 2
1
[ 3 , 2 ] 2 2
2;
r
r
[ r , 1 ] 1 2
1
[ r , 2 2 2
]
2
[ r , r
r
1
1 2
]
r
1
;
16
单位化：构造两两正交的单位向量组1,2 ,,r， 且满足1,2 ,,r 与1, 2 ,, r 等价.
令
1
1
1
1, 2
1
2
2,
0
3是 Ax
0的非零解.
12
记
A
T 1
T 2
1 1
1 2
11
要求 3应满足齐次线性方程组 Ax 0，即
1 1 1 x1
1
2
1
x2 x3
0
A
1 1
1 2
11
r2
r1
1 0
1 3
1 0
rr21(r32)
1 0
0 1
10
1
1
于是得Ax 0 的基础解析为 0 ，取3 0 即为所求.
4
2. 内积的性质
⑴ [ , ] [ , ]; ⑵ [k , ] k[ , ],k R;
⑶ [ , ] [ , ] [ , ];
⑷ 当 0时，[ , ] 0, 当 0 时，[ , ] 0;
⑸（施瓦茨不等式）[ , ]2 [ , ][ , ].
5
二、向量的长度
1.定义 设 n 维向量
则1,2,,r 称为正交向量组.
即一组两两正交的非零向量构成的向量组 称为正交向量组.
10
定的理 非1零向若量n，维则向量1,12,,2 ,,r,线r 性是无一关组.两两正交
即正交向量组是线性无关向量组.
证 设存在 k1, k2 ,, kr使
k11 k22 krr 0,
以
T 1
左乘上式两端，得
⑵ 齐次性 k | k | , k R;
⑶ 三角不等式 . 证明
说明 当n 2、3时，三角不等式的几何解释为
7
3. 两向量之间的夹角
与 的数量积
的长度 的长度 与 夹角余弦
设、 为n维向量，当 0, 0时，有
cos [， ] , arccos [ , ] ,
a1
a2
an
令 [ , ] a12 a22 an2 ,
称为向量 的长度（或范数）.
当 1 时，称 为单位向量.
说 明当 n 2、3时，按此定义的向量的长度与几何空 间中的向量的长度是一致的.
6
2. 向量的长度的性质
⑴ 非负性 当 0 时， 0 ；当 0 时， 0 ；
1
1
1 1, 2 2,
1
1
正交，试求一个非零向量 3，使1,2,3两两正交.
解 析：此题是一个常见问题.解此题的关键是将 所提问题转化为求一个齐次线性方程组的非零解
的问题.
因为所求向量 3，满足1,2,3 两两正交，即有
T 1
3
0,
2T 3 0,
T 1
T 2
3
0
A 3
《线 性 代 数》
电子教案之十一
1
主要内容
第 十 一 讲
❖向量的内积、长度、正交的概念； ❖正交向量组、规范正交基的概念，施密特正交
化方法；
❖正交矩阵的概念和性质.
向 量
基本要求
的 内
❖了解向量的内积、长度、正交、规范正交基、 正交矩阵等概念，知道施密特正交化方法.
积
2
第 一、向量的内积
一 节
1. 内积的定义
➢在定义了内积后，3维向量空间与解析几何中3维 几何空间是类似的. 3维向量空间中向量的内积类
似于3维几何空间的向量的数量积. n 维向量的内
积可看作是数量积的一种推广.
➢向量的内积是两个向量之间的另一种运算，其结
果是一个数，用矩阵记号表示，当 与 为列向
量时，有 , T T .
,r
1
r
r ,
说明
✓上述的正交化过程称为施密特(Schimidt)正交
化满过 足程1,.由2,此,过r与程得1,到2的,向, 量r 等组价，1, 而2,且,满r不足仅 1,2 ,,k 与 1, 2 ,, k (1 k r) 等价.
向 定义 设有 n 维向量
量 的 内 积 长 度令
a1
b1
a2
,
b2
,
an
bn
, a1b1 a2b2 anbn ,
及 正
, 称为向量 与 的内积.
交
性
3
说明
➢在定义内积之前，向量之间的运算只定义了加法 与数乘；如果把3维向量空间与解析几何中3维 几何空间（或称欧式空间）相比较，会发现前者 缺少向量的几何度量性质，如向量的长度、两向 量的夹角等，但向量的几何度量性质在许多问题 中有着特殊的地位.
称为n维向量与 的夹角.
8
三、向量的正交性
1. 向量正交
当[ , ] 0时，称向量 与 正交.
显然，若x 0，则x与任何向量都正交.
说
明当、 为2或3维向量时，、 正交的几何解释为
9
2. 正交向量组
设向量组1,2 ,,r , 若满足 ⑴ 1,2,,r都是非零向量；
⑵ 当 i j 时，[i , j ] iT j 0,
e1 e2 e3 e4 1.
15
4. 施密特(Schimidt)正交化
已知1,2,,r 是向量空间V 的一个基，要求 V的
一个规范正交基. 这就是把已知基规范正交化问题.
正交化：构造正交向量组 1, 2 ,, r ，且满足
1, 2 ,, r 与1,2 ,,r 等价.
令 1 1;
2
2
[ 2 , 1 1 2
k11T1 k21T 2 kr1T r 0,
因为1,2 ,,r 两两正交，即有
[1, j ] 1T j 0, j 2,3,, r
所以 k11T1 0, 又1 0 ，故1T1 0, 从而必有 k1 0.
类似可证必有 k2 0,, kr 0.
11
例1 已知3维向量空间 Rn中两个向量