第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.
本章的特点及要求：
➢ 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容.
空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义，
(c1பைடு நூலகம் f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d) (a c,b d ac) k o(a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
证明：留作课外练习.
四、简单性质
（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）.
(m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(x). (m3) (a b) f(x)= af(x)+ b f(x).
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
二、 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数a 和V中元素v, 一定有： av属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k oa ak , a,b R, k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 注4：向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.
§6.1 向量空间的定义和例子
一、引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
乘法的性质：
(m1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(m2) a(U V ) aU aV. (m3) （a b)U aU bU.
(m4) 1u= u 对所有u属于V.
三、进一步的例子――加深定义的理解
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为矩阵
3、定义： 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间.
（3） 0v＝0，a 0＝0. （4） a (-v)= aV (aV )
（5） aV 0 a 0，或V 0.
6.2 子空间
学习目标
1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
一、子空间的概念
1、定义：设V是数域F上一个向量空间，W是V 的一 个非空子集.
（1）如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么 就说，W对于V的加法是封闭的.
（2）如果对于W中任意向量α和数域F中任意数 a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘 法是封闭的.
2、定理： 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本 身也作成上一个向量空间.
(m4) 1 f(x)= f(x).
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.
例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.