迹，行列式，矩阵 A 与 B 是否相似，它们之间有什么关系？ 解 从已知可知 A
2 0 0 3 6 ， Rank ( A) 2, t r ( A) 5
对于 A 的特征多项式 E A 故 A 的特征值为 2 和 3. 对于矩阵 B , B
3 0 0 2
2 0 ( 2)( 3) 0 3
T 若记 P P 1 ,Q P 1 ,则有 PAQ B 因此由定义 1.3 得到 n 阶方阵 A, B 等价.
1 0 1 2 反过来对于矩阵 A 0 1 ,B 0 1 等价，但是 A 与 B 并不合同，即等价
矩阵未必合同． 2.4 矩阵合同与相似的关系[7] 结论 2.3 同又相似. 证明 设 M 、N 的特征值均为 1 、 2 、 因为 M 与 N 都是 n 级实对称矩阵， n ， 则一定存在 n 阶正交矩阵 P ，使得： 如果 M 与 N 都是 n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则 M 与 N 既合
1 1 1
存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，那么 P 1 AP B 1 P 1 A 1 P ，
1 1
故可以得到 B ～ A . 性质 1.8 证明 如果矩阵 A ～ B ，那么 A B .
存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，又因为 P 1 AP B ， P 1 P 1 ，
若矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 A m 与 B m 相似.
m
（ m 为正整数）
证明 存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，那么 P 1 AP B m P 1 A m P ，故 可以得到 A m 与相 B m 相似. 性质 1.7 证明 如果矩阵 A 、 B 都是满秩，则 A ～ B ，那么 B ～ A .
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学 习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用， 能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对 其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
故可以得到 A B . 性质 1.9 逆矩阵也相似. 证明 也相似. 若 B 不可逆，则 P 1 AP 不可逆，即 A 也不可逆. 性质 1.10 证明 相似矩阵有相同的特征值. 设 B P 1 AP ，若矩阵 B 可逆， B 1 P 1 AP P 1 A 1 P ，从而 B 1 和 A 1
⑴ 反身性: ⑵ 对称性: ⑶ 传递性:
即任一 n 级矩阵与自身合同. 即如 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同.
A 与 B 合同， B 与 C 合同，则 A 与 C 合同.
⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.
1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
1.1 矩阵等价的定义[1] 定义 1.1 的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义 1.2 如果 n 阶矩阵 A 可以由 n 阶矩阵 B 进过有限次初等变换得到，则称 A 与 B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描 述： 定义 1.3 设矩阵 A , B 为 n 阶矩阵， 如果存在 n 阶可逆矩阵 P 和 Q ,使得 PAQ B , 则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ∽ B . 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义 1.4 设矩阵 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个是 n 阶可逆矩阵 P，使得 如果矩阵 A 可以有矩阵 B 经过有限次初等变换得到，称 A 与 B 是等价
不难验证 C T AC B ,即 A B ，但是 A 的特征值为 显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].
结论 2.1 来自百度文库似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵. 证明 设 n 级矩阵 A 、 B 相似，从定义知道存在 n 阶矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，从 等价的定义 A B .
2. 合同矩阵与相似矩阵的关系
2.1 ⑴ 矩阵的相似与合同的相同点[5]. 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有
反身性、对称性、传递性. ⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.
4
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若矩阵 A 相似与矩阵 B ，则 Rank ( A) Rank ( B ) ，若矩阵 A 合同于矩阵 B ，则
1
相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的
设 B P 1 AP ， E B P 1EP P 1 AP
P 1 E AP E A
故矩阵 A 的特征值与矩阵 B 有相同的特征值. 性质 1.11 证明 相似矩阵有相同的迹.
可以设矩阵 A 与矩阵 B 相似，那么存在一个可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP B ，
果相似求出可逆矩阵 P .
1 2 4 1 2 4 解 由矩阵 A 的特征多项式为 2 4 2 2 4 2 4 2 1 0 2 10 1
3
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1 2 4 2 4 2 0 0 1
( 5) 2 ( 4)
6
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1 P MP n
1
同理，可以找到一个正交矩阵 Q ，使得：
1 Q NQ n
1
从上面两式有：
P 1 MP Q 1 NQ
将上式两边分别左乘 Q 和又乘 Q 1 ，得：
验证得到 P 1 AP B ，那么矩阵 A 与矩阵 B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2] 定义 1.5 设 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得 C T AC B ， 则称 A 与 B 合同，记作 A B .
n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：
P 1 AP B ,则称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A ～ B .
1.2.1
n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质 :
[3]
性质 1.1 性质 1.2 性质 1.3 性质 1.4
反身性，即任一 n 阶矩阵 A 与自身相似. 对称性，即如果 A ～ B ，则 B ～ A . 传递性，如果 A ～ B ， B ～ C ，则 A ～ C .
2 5 2 2 2 1 设A 2 5 4 ,T 2 4 5 5 0 2 45 4 45 5 45 1 3 1 0 0 2 , B 0 1 0 , 3 0 0 10 2 3
E B E P 1 AP P 1 ( E ) P P 1 AP
1 = P ( E A) P
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= E A 故特征值相同. 然而对于矩阵 A 合同与矩阵 B，但是它们的特征值不一定相同: 例3
1 设A 1 2 1 1 2 ，B 0 1 1 0 3 ，C 1 2 4 0 1 1 3 3 和 ，B 的特征值为 1 和 2 2 4
从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、 相等的迹[2-4]. 例 2
1 2 4 设 实 数 域 上 的 3 级 实 对 称 矩 阵 A 2 4 2 ， 对 角 矩 阵 4 2 1
5 0 0 B 0 5 0 .求矩阵 A 、 B 的特征值，特征多项式并且矩阵 A 与矩阵 B 相似吗？如 0 0 4
Rank ( A) Rank ( B ) .可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.
⑶
相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.
若矩阵 A 于矩阵 B 相似，则要求 A 、 B 都是方阵；若 A 合同与 B ，则要求 A 、 B 都 方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如 A ～ B ，则 A B ， A 与 B 有相同的特 征值.但若 A B ，那么 A 与 B 的行列式的值不一定相等； A 与 B 也不一定有相同的特 征值.
1 0 0 1 2 1 反过来，对于矩阵 A 0 1 0 ，B 0 1 0 ， A 与 B 等价，但是 A 与 B 并不相
似. 结论 2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵. 证明 设 n 阶方阵 A, B 合同， 由定义 1.5 有， 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 P T AP 1 B， 1，
经过验证可以知道 A 1 ， B 4 ，然而 C T AC B ， A B ，可以得到矩阵 A 合同于 B ，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设 A ～ B ，则有可逆矩阵 P ，使得 B P 1 AP ，于是
6 ， Rank ( B ) 2, t r ( B ) 5
矩阵 B 的特征多项式 B
3 0 ( 2)( 3) . 0 2
故矩阵 B 的特征值是 2 和 3.
0 1 1 存在一个可逆矩阵 P 1 0 使得 P AP B ，从定义矩阵 B 与矩阵 A 相似.
P 1 (k1 A1 k 2 A2 ) P k1 P 1 AP k 2 A2 P .
1
（ k , k 是任意常数） 1 2
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性质 1.5 性质 1.6
P 1 ( A1 A2 ) P ( P 1 A1 P )( P 1 A2 P ) .
故矩阵 A 的特征值为 5 和—4. 容易知道矩阵 B 的特征多项式和矩阵 A 的相同，
1 5 5 2 5 故矩阵 B 的特征值为 5 和-4.那么存在一个可逆矩阵 P , P 5 0 4 5 15 2 5 15 1 5 3 2 3 1 3 2 3
t r B t r P 1 AP


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t r P 1 PA t r A


例1
2 0 3 0 A 0 3 ，B 0 2 ，求分别求矩阵 A 、 B 的特征多项式，特征值秩,
例1
不难验证：
T T AT B ，有 A B .
我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩 阵 T 为正交矩阵，故 A ～ B ，矩阵 A 的行列式可以等于 B 的行列式，下面举出合同但是 行列式不等的情况. 例2
1 2 1 4 1 0 A 2 3 ， B 4 12 ，C 0 2 .