矩阵等价、相似与合同的区别与联系

等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.

1）定义及相互之间的关系

设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*

2）性质

（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即

A - At At A a A （反身性）；

若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；

若』卷R,

若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•

（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形

O O

⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“

注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4

与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.

（3）用正交相似变换可将/化简成

Q J AQ=Q-l AQ^

对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.