数学实验作业（一）
素数的分布
一、 实验目的
观察素数在实轴上的分布，考查素数在实轴上的分布规律，寻找区间上素数个数的近似表达式.
二、 实验原理及步骤
1、用)(n π代表不超过n 的素数的个数，),(n m π表示区间],[n m 内素数的
个数.试计算),100(π),1000(π),1000(π),10000
(π),100000(π以及)200,100(π，)1100,1000(π,)10100,10000(π,)100100,100000(π.从计算结果看，随着整数范围的扩大，素数是越来越稀疏，还是越来越密？考虑一些更长的区间，再尝试以上同样的实验.
2、将素数从小到大顺序排列 ,3,221==p p ，用n n n p p d -=+1表示相邻素数之间的间隔.计算)10000,1000(,,,321=N d d d d N ，然后将点),(n n d p 标在坐标系中，试从中找出素数间隔的规律.比如素数的间隔值有哪些？它们各重复多少次，哪些间隔值重复的次数多，最大间隔是多少？随着N 增大，最大间隔值是否也随之增大？
3、根据上述实验，对素数的分布做一个猜测，比如间隔为2的素数是否有无穷多个？更一般的，间隔为某个素数是否有无穷多个？是否存在相邻的素数，其间隔值可以无穷大？证明这些猜测.
4、在二维平面上标出点列))(,(n n π，N n ,,2,1 =（取不同的N ，如1000，10000等）.也可以用折线将点连接起来.观察)(n π趋于无穷的趋势，并且将它与
x y x y ==,比较.可以得出什么结论？类似的观察点列)/)(,(n n n π，)/)(,(n n n π及))))ln(//()(,(,(n n n n n ππ.猜测)(n π趋于无穷时候的极限.
5、令⎰
∑
∞
++==n
k
k n k k n R dx x n Li 2
1!)(ln )
1(11)(,ln 1)(ζ，其中：
+++
=k
k k 31211)(ζ.试对一系列充分大的n ，计算)08366.1/(ln ,ln /),(-n n n n n π，)(n Li 及)(n R .其中哪一个公式更接近)(n π？
三、实验结果及分析
1、通过编制程序计算可以得到， ),100(π),1000(π),10000(π)100000(π的值是：25，168，1229，9592.)200,100(π，)1100,1000
(π,)10100,10000(π, )100100,100000(π的值分别是：21，16，11，6，从中可以看出，随着整数值的扩
大，等间隔范围内的素数是越来越稀疏. 2、N=1000时，),(n n d p 如下图所示.
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
N=10 000时，),(n n d p 如下图所示.
010002000300040005000600070008000900010000
N=10 000时，间隔最大值为36，间隔为6的数最多.从上面容易知道，素数的分布是极不规则的.它虽然沿数轴分布越来越稀疏，但有时素数之间的间隔又很小.不过，就总的趋势而言，固定区间长度内的素数个数是越来越少.
π，在N=1000时，如下图所示.
3、在二维平面上点列N
,
(
(
=
n,
n
)),
n
,2,1
在同一坐标系中作出x y x y ==,的图有：
绿色线代表y=x ，蓝色代表x y =，红色线代表))(,(n n π.可以看出点列夹在这2条线之间.同样地，作出点列)/)(,(n n n π，)/)(,(n n n π及))))ln(//()(,(,(n n n n n ππ如下图所示.
黄色的线表示)/)(,(n n n π，红色的线表示)/)(,(n n n π，从中可以看出)(n π在
n时的极限的阶α在1/2到1之间.
→
∞
π，
4、针对100000
),
/
ln
(-
n
n
,
n
n
n
,
10000
,
/(ln
1000
,
.1
08366 n，分别计算) 100
=
Li及)
R.计算结果如下表.
(n
(n
)
π.
从表中容易看出，计算公式)
(n
(n
R更接近)
四、感想及进一步工作
通过数学实验和计算机编程，了解到素数在实轴上的分布，即分布式极不规则的，对于固定长度的区间[M,N]，其中的素数个数越来越少.素数的个数近似表达式可由)
R来近似求出.关于素数，还有许许多多富于挑战性的问题，比如
(n
Goldback猜想，大整数的素因子分解，完全数，孪生素数，Bertrand猜测，清一色素数等，都等着人们去挑战和解决.。