数学分析课程教学大纲
（Mathematical Analysis ）
课程性质：学科基础课
适用专业：数学与应用数学
先修课程：高中数学
后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积
分方程、非线性分析
总学分：18
教学目的与要求：
1. 通过本课程的讲授与作业， 应使学生：
（1） 对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；
（2） 正确理解数学的基本概念，基本掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能
和初步应用的能力。
2. 本课程要求总学时数为300学时，其中讲授课约220学时，习题课约80学时。
下面各节标题后所列时数指讲授时数。
3. 本大纲附有课程标准（教学要求），供授课时按学生水平、教学计划实际课时数灵活掌握。
4. 实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化，随时调整教学内容。
一. 实数集与函数（8学时）
实数集， Archimedes 性质，区间与邻域。
函数（映射，包括单、满、双射），反函数，复合函数，初等函数，一些特殊类型的函数（奇、偶函数，周期函数，有界函数，单调函数）。
有界数集，确界原理，涉及确界的一些运算，否定。
注：1. “涉及确界的一些运算”指涉及sup(A ∪B ), sup (A + B ), sup(λA )等的一些结果。
2. “否定”指逻辑中关于“和”与“或”、“所有”与“存在”的两个否定法则。
二. 极 限（24学时）
收敛数列及其性质，定向发散数列，扩张的实数系。
单调数列的极限，n n n
)11(lim +。
闭区间套定理，数集的聚点及聚点定理，数列的极限点与收敛子列定理，数列的Cauchy 准则，*数列的上、下极限。
函数的极限及其性质Heine 定理，单调函数的极限，函数极限的Cauchy 准则，x x x sin lim 0→, x x x
)11(lim +∞→, 复合函数的极限，无穷小量、无穷大量及其阶。
注：1. 注意收敛数列与定向发散数列、数列极限与函数极限在处理上的一致性。
2. 建议证明确界原理 ⇒ 有界单调列定理 ⇒ Archimedes 性质＋闭区间套定理 ⇒ 聚点定理 ⇒ 收敛子列定理⇒ Archimedes 性质＋Cauchy 准则。
三. 连 续 函 数（10学时）
函数的连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质和四则运算，复合函数与反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质－有界性、介值性、最值性、一致连续性。
四. 一 元 函 数 微 分 学（22学时）
导数与导函数，求导法则，基本初等函数的导数，高阶导数及其法则，由参数方程表示的函数的导数，无穷导数。
微分与高阶微分。
极值与Fermat 定理，Darboux 定理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理，中值定理的一些应用（判断函数的单调性，证明恒等式与不等式等），L ’Hospital 法则，Taylor 公式。
凸函数及其判定法则，Jensen 不等式及其应用，凸函数的连续性与可微性。
极值的充分条件，最大、最小值，拐点，渐近线，函数图象的作法，*方程的近似解。
注：1. 微分学的教学中应注意解决中学数学中的遗留问题。
2. 应向学生说明对)
()(x g x f 应用L ’Hospital 法则时可以只要求g (x )→∞。
3. 微分及Taylor 公式对近似计算的应用并入Taylor 级数。
五. 一 元 函 数 积 分 学（32学时）
原函数与不定积分，分解积分法，换元积分法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分法，简单的无理函数积分法，积分表的用法。
定积分，Newton-Leibniz 公式，可积性条件与可积函数类。
定积分的性质（线性与不等式性质，区间可加性，换元积分法，分部积分法，第一、二积分中值定理等）。
微积分基本定理，*上、下积分。
广义积分及其性质，用定义、换元、分部积分计算广义积分，广义积分收敛性的判别法。
可加区间函数，微元法，定积分应用举例（简单平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体体积，曲线弧长，功、压力、平均值等）。
注：1. 可以说明用积分定义对数函数，并由它定义指数函数、幂函数的方法。
2. 建议两种广义积分的定义统一处理。
3. 可积性条件仍以证明为宜。
六．数 项 级 数（12学时）
级数， 收敛级数及其性质，Cauchy 准则。
绝对收敛级数及其判别法（比较判别法、检比法、检根法、*Raabe 判别法）。
收敛的其它判别法（Leibniz 、Dirichlet 、Abel 判别法），数项级数与广义积分的关系，积分判别法，*Gauss 判别法。
加括号与去括号，绝对收敛级数的重排，*条件收敛级数的重排，*级数的乘法。
注：建议分别用与∑−p n )
1(1、∑n ln ln 1比较证明Raabe 、Gauss 判别法。
七. 函 数 项 级 数（24学时）
函数列与函数项级数的逐点收敛与一致收敛，一致收敛性的判别法（函数列一致收敛的充要条件，Cauchy 准则，M 、Dirichlet 、Abel 判别法），极限函数与和函数的连续性，*Dini 定理，逐项微分与逐项积分，对计算广义积分的应用。
幂级数及其收敛半径、收敛区间，内闭一致收敛，幂级数的和函数的连续性，Abel 连续性定理，幂级数的逐项微分与逐项积分。
Taylor 级数，函数的Taylor 级数的求法，*对近似计算的应用。
函数的Fourier 级数及其求法，奇延拓与偶延拓，正交函数系，Bessel 不等式，*收敛定理的证明，*平均收敛，Fourier 级数的逐项微分与逐项积分，*W eirstrass 逼近定理。
注：建议介绍用幂级数定义正、余弦函数的方法。
八. n 维 Euclid 空 间（10学时）
内积与范数，夹角，线段与超平面，n 维区间，凸集，R n 中的点列、开集与闭集，闭集套定理，紧集，有限覆盖定理，连通集。
一元向量值函数及其连续、导数、积分，R n 中的曲线及其切线，曲线的长度，旋转体的侧面积，*曲率。
注：建议证明Archimedes 性质＋闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理 ⇒ 聚点定理。
九. 多 元 函 数 微 分 学（30学时）
多元实值函数的极限与连续性，紧集和连通集上连续函数的性质，方向极限，二次极限，多元向量值函数的极限与连续性。
方向导数，偏导数，高阶偏导数及其与顺序无关性，全微分与导数，可微性与偏导数的关系，复合函数的偏导数与全微分，中值定理，高阶微分与Taylor 公式，极值及其求法。
反函数定理，开映射定理，隐函数定理，隐函数的导数，曲面的切平面，条件极值与Lagrange 乘数法。
注：反函数等三个定理可对特殊情形证明，但应对向量值函数给出一般形式。
十．含 参 量 积 分（12学时）
含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性，交换积分次序。
含参量广义积分及其收敛与一致收敛性，Cauahy 准则，M 、Dirichlet 、Abel 判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，交换积分次序，计算广义积分，Γ 函数，Β 函数，*Stirling 公式。
十一. 重积分（20学时）
二重积分及其计算，三重积分及其计算，面积与体积概念，可积性的Riemann条件，重积分的性质与变量代换，重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。
*n维体积概念，*n重积分，*零集，*可积性的Lebesgue条件。
十二. 曲线积分与曲面积分（16学时）
第一、二型曲线积分及其计算，向量值函数的原函数，线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件）。
曲面的定向，第一、二型曲面积分及其计算。
Green定理，散度定理，Stokes定理，Green公式与调和函数。
*外积与微分形式，*外微分，*一般的Stokes公式，*闭微分形式与恰当微分形式。
*梯度、旋度、散度的极限形式与物理意义，*一些特殊的向量场（无源场、无旋场、旋量场等）。