课程回顾
1.Navier法把挠度设为什么形式？
2.Navier法的适用范围？
3.Navier法所设的挠度预先满足什么？
w中的
如何确定？
4.如果遇到的不是四边简支的矩形薄板
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
方程 边条
问题2
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
图示
原问题 问题1 问题2 问题3
方程 边条
解答
例 原问题 = 问题1 + 问题2
为定 需满足原问题的边界条件
满足转角条件确定 由 及
分别对 及 求y的一阶偏导代入边条
将 代入 中
问题的解为
§13-8 圆形薄板弯曲

2
4w x2y2

4w y4


q
(13-10)
板壳力学
10
关于 D4w q 的几点说明
1．是严格从弹力平衡方程导出的，其本质是 板的静力平衡方程，方程的右边是单位面 积上的横向载荷，左边是单位面积上的弹 性抗力。
2．推导途径有三条：（1）课程所述
（2）建立内力与荷载
平衡关系
z


x y
2 xy

z
板壳力学
3
则


x y



x y


z

xy

2

xy

几何方程
板壳力学
4
关于 x 的说明：
x


2w x2

0
x向近似曲率
板壳力学
5
（二）用w表示应力分量
主要应力
2w
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
满足（13-10）
定
满足
边条
三 定w中的函数
将所设w带入(13-10)得
荷载展开
代回 四 求内力
由
边条定
§13-补充叠加法
图示
原问题
问题1
轴对称弯曲条件 几何 材料 边条 载荷均关于z轴对称
则挠度
弹性曲面微分方程为
齐次解 解
特解
外域解
内域解
关于解的说明
1.(13-36)是环形薄板的解 四个待定系数分别由内、外两个边条定解
2.若为圆板则解中的 解为
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
（3）能量原理
板壳力学
11
3． 关于D，是薄板的抗弯刚度，单位 （力*长度）
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
关于(13-12)的说明
n x y

2m

x2 a2

y2 b2
1

2x a2

2m

x2 a2

y2 b2
1

2y b2
0
三.确定待定系数m
D4w q
4w

4w x4

2
4w x2y
2

4w y 4
4w
24 a4
m

2
a
8 2b2

24 b4 m
代入方程
1.体现薄板内力特征(只有弯曲内力) 截面三个弯曲内力 截面三个弯曲内力
2.弯曲内力量纲 弯矩、扭矩为[力] 剪力为[力][长度]
3.弯曲内力与挠度的关系
是w的二阶偏导数 是w的二阶偏导数 是w的三阶偏导数
5.内力与应力的显式关系
例
梁与板的对照
A
A
M
y
AA
z
x
M
A yA
二.建立(13-10)的第二条路径 ——内力与横向载荷平衡
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
A
B
y
O
b
z
A y
a
C
B

x 写出x=a边界条件 BC边
B点
§13-5 解法概述 逆法算例
一、解法概述
*1.正解法
*2.逆解法
*3.半逆法 的w
4. 迭加法
从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数 预先满足部分边条选取有待定系数
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
x2 a2

y2 b2
1
2）边界条件
w 0 x2
a2

y2 b2
1
w n
0
x2 a2

y2 b2
1
二.选取满足边条的挠度表达式
选取
w

m

x2 a2

y2 b2
2 1

检验
x2 y2 1 a2 b2
时
w m02 0
w w w
w代入（13-12）求内力
Mx


2
3 a4

q0 2
a2b2

3 b4


3x2 a4

y2 a2b2

1 a2





3y2 b4

x2 a2b2

1 b2

Mx


2
3 a4

q0 2
a2b2

3 b4


3x2 b4
（分离变量）
中心不开孔，为了不至中心挠度无限大
则全解为
得到 (13-10)
板弯曲问题基本方程
(1310)
板的边界条件分类
板的边界 支撑情况 图示
条件分类
固支边
抗弯抗扭 刚度均很大
简支边
抗弯刚度大 抗扭刚度小
自由边
抗弯抗扭 刚度均小
强自由边 抗弯适中
抗扭小
讨论
若y=b分布 扭矩转换产 生角点力 方向 量纲
关于定解条件的说明
1.角点力 角点条件 角点力产生——自由边扭矩等效转换为 横向剪力时未被抵消的
力
角点条件 两个自由边相交必须提出一个角点条
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件

x2 a2b2

1 b2



3y2 a4

y2 a2b2

1 a2

§13-6 双正弦级数解法—Navier
法
（逆法经
典解法之一）
适用范围 优点 缺点
慢
四边简支 矩形 任意横向荷载 思路明确 解法简洁 只适用于四边简支矩形薄板收敛
解法步骤
一 建立问题的边条
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
一.问题的提出
二.求解反对称荷载作用下的
1.载荷函数
2.方程
3.特解
求出
4.齐次解
弹性曲面微分方程
矩形板 直极坐标转换
圆形板
内力（弯曲内力）
矩形板
圆形板
边界条件
固支
矩形板
简支
自由
强自由 角点 条件
圆形板
无 扇形板有
说明： 1.分类相同 2.自由边扭矩转换为等效横向剪力
相同
3.用内力和位移表示边条相同 4.圆板没有角点条件
扇形板有角点条件
§13-9 圆形薄板轴 对称弯曲问题

xz
x
yz
y

Z
z w z t 2
0
定Fz x, y
板壳力学
7
（三）薄板的弹性曲面微分方程
下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠 曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶 面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正， 而底面不承受荷载。