60°
tan A - tan B b + c = 思考2：在△ABC中，若 ， tan A + tan B c
则角A的值为多少？
120°
探究（三）：三角形形状的确定
思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则 △ABC的形状如何？ 等腰三角形
思考2：在△ABC中，若B=60°，且b2=ac， 则△ABC的形状如何？ 正三角形
1 2 S ac sin B 511.4(cm ) 2
思考3：能否用三角形的三边长为a，b， c表示三角形的面积S？
S = p( p - a )( p - b)( p - c)
1 p = (a + b + c ) 2
探究（二）：三角形内角的计算
思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰ sinC=5︰7︰8，则角B的值为多少？
问题提出
1.三角形中有一系列基本定理和公式， 其中包括内角和定理，勾股定理，正弦 定理，余弦定理，射影定理，面积公式 等，这些知识是解决三角形问题的基本 理论依据. 2.以三角形为背景的数学问题，除了解 三角形和测量问题外，还有与三角函数 相关联的三角变换问题，我们将对这类 问题作些分析与探究.
三角形中的三角变换
北
东 C
B A
沿北偏东56°的方向航行
思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东 60°的B处，以20 n mile/h的速度向正 北方向航行，若使甲船在直线航行中， 与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方 向由什么因素所确定？
北 东 C
甲船的航行速度
B A
思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 20 3 n mile/h，那么甲船应沿什么方向 航行才能与乙船在C处相遇？
东 B
北偏东 18.46°
A
C
总结
1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小， 是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中 航行方向的测量与计算.
2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关 数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定 理求相关角的大小，是解题的基本思路. 3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解， 就用方程思想处理.
探究（一）：三角形面积的计算
思考1：在△ABC中，若B=62.7°， C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的 面积？
1 b sin C sin A S = bc sin A = 2 2 sin B
2
4(cm )
2
思考2：在△ABC中，若a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的 面积？
第一章 解三角形
§1.2 应用举例(二）
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？ 一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离. 基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？ 在实际问题中如何选择？ 仰角、俯角或方位角. 在地面测仰角， 在空中测俯角， 在行进中测方位角. 3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中 物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小， 也是测量问题中的一个重要内容.
北 东 C
B A
沿北偏东30°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45° 方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南 偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别 以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向 小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与 北 小岛的距离是多少？
角度测量问题
探究（一）：测量行进方向
思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行 67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32° 的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间 的直线距离是否确定？如何计算？
北 东 C
AC=113.15海里
A
B
思考2：在上述问题中，若海轮直接从海 港A出发，直线航行到海岛C，如何确定 海轮的航行方向？
A 东 B
15 海里
C
思考2：在A处观察小岛，其位置如何？
北
A B 东
C
南偏东7°，相距21海里
理论迁移
例 在A处有一条小船，在点A的北偏东 30°方向有一个小岛B，这附近海域内有 北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h的 潮流.已知小船的航速是10 nmile/h，若 使小船在最短的时间内达到小岛，小船 北 应沿什么方向航行？
思考3：在△ABC中，若 a tan B = b tan A ， 则△ABC的形状如何？ Leabharlann 腰三角形或直角三角形2 2
探究（四）：三角恒等式证明
思考1：在△ABC中，如何证明
a +b sin A + sin B = 2 2 c sin C
2 2 2 2
？
思考2：在△ABC中，如何证明
a + b + c = 2(bc cos A + ca cos B + ab cosC )
2 2 2