＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)
＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.
解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°
＝sin20°cos22s0i°nc2o0s°40°cos80°＝sin40°4csoisn4200°°cos80°
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝1s6insi1n6200°°＝116.
[答案]
－2 5 5
－
5 5
2
[解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π，
∴cosθ＝－35，54π<θ2<32π.
∵cosθ＝1－2sin22θ，
∴sinθ2＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－2
5
5 .
又 cosθ＝2θcos2θ2－1，有 cosθ2＝－ ∴tanθ2＝ sin2θ＝2.
＝sin32x·cos2x3－x cosx32x·sin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
＝coss32ixncxos2x＝cosx2＋sincxos2x.
求证：1c＋osc2ox＋ s2(cxo＋s2yy)＝ccooss((xx－＋yy)). [证明] 左边＝2cos2(xc＋osy2()xc＋os(yx)－y) ＝ccooss((xx－ ＋yy))＝右边.
原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)
＝3a2＋b2
＝34cos220°＋34sin220°＝34.
• [点评] 解法一：通过对该题中两个角的 特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化 和差公式．当然运用降次、和积互化也是 一般方法．
• 解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构 造对偶式，组成方程组，解法简明．
值为________．
[答案]
12 13
[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加
减产生过 cos(α±β)，但 sin(α＋β)的展开式为异名积，因此
不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公
式变形，再相除可得 tanα＋2 β的值，进而可求 sin(α＋β)的
值．
[解析] ∵cosα－cosβ＝12， ∴－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12.① ∵sinα－sinβ＝－13， ∴2cosα＋2 βsinα－2 β＝－13.②
• 解法五：运用代数中方程的方法，将三角 问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一 格，体现了数学的内在美．
• 在此基础上，通过分析三角函数式中的角 度数之间的特定关系，作推广创新．
求值：sin220°＋cos280°＋ 3sin20°cos80°＝________.
[答案]
1 4
[解析] 令 x＝sin220°＋cos280°＋ 3sin20°cos80° y＝cos220°＋sin280°＋ 3cos20°sin80°， 则 x＋y＝2＋ 3sin100°，
(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°
＝2×
22×12＝
2 2.
解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15°
＝
2cos15°×
22－sin15°×
2 2
＝
2cos(15°＋45°)＝
2cos60°＝
2×12＝
2 2.
已知 cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，则 sin(α＋β)的
• ∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π － (A ＋ B)] ＝ 2sin(A ＋ B)[cos(A － B) － cos(A ＋B)]
在△ABC 中，求证： cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinA2 sinB2 sinC2 .
[证明] ∵A＋B＝π－C， ∴cosA＋2 B＝sinC2，cos(A＋B)＝－cosC， 左边＝2cosA＋2 BcosA－2 B－cos(A＋B) ＝2cosA＋2 B(cosA－2 B－cosA＋2 B)＋1 ＝1＋2sinC2 ·(－2)·sinA2 ·sin(－B2 ) ＝1＋4sinA2 sinB2 sinC2 ＝右边．
＝sin332xx－2xx＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x
cos 2 cos2
cos 2 cos2
3x x ＝ sin 32x－ sin2x＝tan32x－tan2x.
cos 2 cos2
3x x 解法二：tan32x－tan2x＝ sin 32x－ sin2x
cos 2 cos2
• ②运用公式之后，能否进行提取公因式， 能否约分，能否合并或消项；
• ③运用公式之后，能否使三角函数式结构 更加简单，各种关系更加明显，从而为下 一步选用公式进行变换创造条件．
• (4)在应用和差化积公式时，必须是一次同 名三角函数方可施行，若是异名，必须用 诱导公式化为同名，若是高次函数，必须 用降幂公式降为一次．
cosα2＝－ 1＋2cosα＝－255； tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－12； 当 k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sinα2＝－ 1－2cosα＝－ 55， cosα2＝ 1＋2cosα＝255， tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－12.
已知|cosθ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2＝________，cosθ2 ＝________，tanθ2＝________.
• [ 例 6] 求 sin210° ＋ cos240° ＋ sin10°cos40°的值．
• [分析] 从不同的观察角度入手，可产生 不同的解题思路．
• ①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°， 这样整个式子中只含10°角的正余弦，便 于化简有解法一．
• ②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构 造对偶式，这样两式相加减都容易化简， 有解法二．
∴原式＝tanθ2＋
1 θ
tan2
θθ
＝ sin2θ＋cosθ2＝
1 θ
θ＝si2nθ .
cos2 sin2 cos2sin2
解法二：原式＝22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＋
22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＝csoinsθ2θ2＋csoinsθ2θ2
＝
1 θ
θ＝si2nθ.
cos2sin2
解法三：原式＝(1(＋1＋sinsθin－θ＋cocsoθs)2θ＋)(1(＋1＋sisniθn－θ＋cocosθs)θ)2 ＝2((11＋ ＋ssiinnθθ))22＋ －2cocos2sθ2θ＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2θ＝si2nθ.
已知32π<θ<2π，化简 1＋sinθ－ 1－sinθ＝______. [解析] 原式＝|sinθ2＋cosθ2|－|sinθ2－cosθ2|， ∵32π<θ<2π，∴34π<θ2<π， 从而 sinθ2＋cosθ2<0，sinθ2－cos2θ>0， 则原式＝－(sinθ2＋cosθ2)－(sinθ2－cosθ2) ＝－2sinθ2.
• [例5] 设A、B、C是△ABC的三个内角， 求 证 ： sin2A ＋ sin2B ＋ sin2C ＝ 4sinAsinBsinC.
• [分析] 左和右积，故考虑和差化积，然 后利用A＋B＝π－C转化．
• [证明] ∵A＋B＋C＝π，
• ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．
• 对于三角函数的和差化积，有时因使用公 式不同或选择解题的思路不同，化积结果 可能不一致．
• 引入辅助角公式也是一种化积公式，在解 题中有广泛应用．
[例 1] 化简：11＋ ＋ssiinnθθ－ ＋ccoossθθ＋11＋ ＋ssiinnθθ＋ －ccoossθθ. [解析] 解法一：∵tanθ2＝1－sincoθsθ ＝1＋sincoθsθ＝11＋＋ssiinnθθ＋－ccoossθθ， ∴ta1nθ2＝11＋＋ssiinnθθ＋－ccoossθθ
• ④从a2＋b2＋ab入手考虑完全平方式(a＋b)2， 化[同解析名]，解和法差一：化因积为可40产°＝生30°特＋殊10°角，于，是故有解 法原四式．＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)
＝sin210°＋ 23cos10°－12sin10°2＋sin10°
cos2
1＋2cosθ＝－
5 5.
• [例3] 化简求值
• •
((12))[求求解ssi析inn71]50°°(1－·) s解sinin法3105一°°：·的s原in值5式0．°＝ －·s14in(7co0s°60°的－值；
cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°
解法三：原式＝1－c2os20°＋1＋c2os80°＋12(sin50°－ sin30°)
＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14 ＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.
解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40° ＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40° ＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°) ＝1＋c2os40°－12cos40°＋14＝34.
• (2)和差化积公式
• 正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、 余减反正弦．
• (3)积化和差公式
• 正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和， 正积反余差．
• 注：“反”即添负号换名称．
• 2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的 内在联系：
3．注意下列问题 (1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号 前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．