现实生活中的一次函数
在八年级数学教材中利用一次函数解决实际问题,这一过程更是具有典型性和实用性,这也正是体现了新课改理念下,教会学生学
会数学和会学数学,在学数学、做数学中体会到数学的乐趣,既提高了学生的能力也达到了教学的目的。
例1.某校校长暑假将带领该校市级
“三好生”去北京旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优待.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.
(1)设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费(建立表达式);
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样;
(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
解:(1)y甲=120x+240,y乙=240·60%·(x+1)=144x+144;
(2)根据题意,得120x+240=144x+144,解得x=4,所以当学生人数为4人时,两家旅行社的收费一样多;
(3)当y甲>y乙,120x+240>144x+144,解得x4.
所以当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠;当学生人数多于4人时,甲旅行社更优惠.
本题的解决过程中关键是要明确甲旅行社和乙旅行社的收费标准,再运用一次函数、方程、不等式等知识,就可以解决现实生活中优惠方案的设计问题。
例2.光华农机租赁公司共有50台联
合收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往a、b两地区收割小麦,其中30台派往a地区,20台派往b地区,两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:
问题:
(1)设派往a地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x 的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总金额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。
分析:本题是运用函数的思想方法解
决实际问题,需要从丰富的背景中提取信息,建立数学模型.为了使学生能从诸多条件中分析出相关量的数学关系式,列表是一个行之有效、简捷明快的好方法.
列表分析:
解:(1)若派往a地区的乙型收割机为x台,则派往a地区的甲型收割机为(30-x)台,派往b地区的乙型收割机为(30-x)台,派往b地区的甲型收割机为
(x-10),y=1600x+1800(30-x)+1600(x-10)+1200(30-x)=200x+7400 0x,x的取值范围:10≤x≤30(x是正整数).
(2)由题意可知:200x+74000≥79600,
x≥28,因为10≤x≤30,所以x取28、29、30这三个值,共有三种不同分配方案.
当x=28时,即派往a地区甲型收割机2台,乙型收割机28台,派往b地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.
当x=29时,即派往a地区甲型收割机1台,乙型收割机29台,派往b地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.
当x=30时,即30台乙型收割机全部
派往a地区;20台甲型收割机全部派往乙地区.
(3)因为在y=200x+74000中,k=200>0,y随x的增大而增大;
所以当x=30时,y取得最大值.
要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x=30,y=200×30+74000=80000.
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往a地区;20台甲型收割机全部派往b地区,可使公司获得的租金最高.
例3.某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶,然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售,如果设购进甲种酸奶为x(箱),全部售出这批酸奶所获销售利润为y(元).
求:(1)所获销售利润y(元)与x(箱)之间的函数关系式;
(2)根据市场调查,甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱,那么食品批发部怎样进货获利最大,最大销售利润是多少?
分析:本题强调了运用函数思想方法解决实际问题的应用能力,并涉及列代数式和一次函数的性质等有关知识。
销售额=单价×数量,利润=销售额×加价率,总利润=甲种酸奶的利润+乙种酸奶的利润.
通过列表:
解:(1)根据题意,得:y=16×20%x+25%×
(10000-16x)=-0.8x+2500.
(2)由题意可知:x≤300,(10000-16x)÷20≤300.
250≤x≤300,
由y=-0.8x+2500,
因为k=-0.8<0,
所以y随x的增大而减小.
所以当x=250时,y值最大,
y=-0.8×250+2500=2300
(10000-16x)÷20=300.
答:当购进甲种酸奶250箱,乙种酸奶300箱时,所获销售利润最大,最大销售利润为2300元.
例4.某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货
员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。
由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等,根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表一,每1万
元营业额所得利润情况如表二.
商场计划将日营业额分配给三个经营部,设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x、y、z 都是整数).
(1)请用含x的代数式分别表示y和z;
(2)若商场预计每日的总利润为c(万元),且c满足19≤c≤19.7,问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?
解:(1)由题意得x+y+z=60,5x+4y+2z=190解得
y=35-1.5x,z=0.5x+25.
(2)c=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5.
因为19≤c≤19.7,所以19≤-0.35x+22.5≤19.7,解得8≤x≤10. 因为x、y、z是正整数,且x为偶数,
所以x=8或10.
当x=8时,y=23,z=29,售货员分别为40人,92人,58人;
当x=10时,y=20,z=30,售货员分别为50人,80人,60人.
本题是运用方程组的知识,求出了用x的代数式表示y、z,再运用不等式和一次函数等知识解决经营调配方案问题.
综上所述,利用一次函数有关知识去
解决实际生活中的许多问题,数学建模在这些问题中起到了很大的作用,而读懂读通题目又是建模之关键所在,教师应在教学中培
养学生分析问题的能力,让学生从解决问题的过程中去掌握解决问
题的方法,这将会对他们在今后的学习中有更大的帮助,同时也会收到事半功倍的效果。
作者单位:江苏省扬州市邗江区北洲
中学。