十、能量法(Energy method)
1、应变能与余能
（1）应变能
F
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
应变能
1
Vε W Fd
0
应变能密度
vε
Vε AL
1
d
0
功
1
一般应力状态下，应变能密度
(ε1 ,γ1 )
vε ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
——虚设外力法
例10-3. 题同例10-2，求铰B的水平与铅直位移。
A
F
B B
解：由铰B平衡，得两杆内力 C
FAB F(拉)，FBC 2F(压)
应变能 V
Fi2 Li L (F 2 2 2F 2 ) 2EA 2EA
铅直位移
2
V F
(1 2
2) FL EA
水平位移
1
V Ft
0？
虚设力法：假定铰B还受水平向右的力Ft作用
例10-6 试分析下列结构的位移
A
BF
AB
B
V F
F A
B
F
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
F2 B
AB
V F1
或 V F2
或？
q AB
C B ?
虚加一对力偶MB
B
MB
B
V M B
M B 0
思考：P83- 3-1，2，3，4，习题3-8（c），9，14
练习：P86- 习题3-7（c），8（a）,15
F
C
A
D
B
F
解：二次超静定
基本静定系——解除铰D约束， 加反力F1，F2，F3，F4
铰D平衡：
F2 F4
F3 F1，F2 F4 F
F1
F3
D
结构对称性
F2
F4
F 2
一次超静定
F2 F4
F1 D
F3
F
D
变形相容 Dy 0 ——对称性已用
Dx 0
F1
F1
F 2
左半弯矩
1 M1 2 Fx
GA
d Tdx
GI p
d FNdx
EA
单位力法的表达式
1
(M
L
M EI
Fs
s Fs
GA
T
T GI p
FN
FN )dx EA
同一根杆的轴力和剪力所作功与弯矩所作功相比
一般较小，其中相应项可略去
思考：线弹性、小变形假设下，单位力法表达式
与卡氏第二定理表达式的关系
例10-7题同例10-3，求铰B的水平与铅直位移。 解：实际外力F相应的杆内力
（1）卡氏第一定理
应变能与功取决于荷载的最终值及相应的位移
——假定各力同时按比例加载至最终值
外力的功
i
W Fidi
0
应变能
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
i
V
Fidi V (i )
0
假设仅第i个位移有微小增量di，则应变能的变化
dV
V
i
di
外力功的变化 dW Fidi
外力功等值于应变能
由铰B平衡，得 FAB F，FBC 2F
（1）水平位移
去掉原外力，加水平单位力 A
B
1
相应内力 FAB 1，FBC 0
单位力法表达式
C
Bx
FN
L
FN dx EA
L EA
(
FAB
FAB
FL () EA
2FBC FBC )
（2）铅直位移
加铅直单位力，相应内力
1
FAB
1
FAB F
同一根杆的拉压应变能与弯曲应变能相比一般也较小
思考：组合变形杆应变能的叠加法
（2）余能
F 余功
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
1
余功
F1
Wc dF
余能
余能密度
0
vc
Vc AL
1
d
0
F1
Vc Wc dF
0
一般应力状态下，余能密度
(σ1 ,τ1 )
vc ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
解静定问题的方法：
选取基本静定系，适当解除约束，增加相应的 约束反力
建立相应约束处的变形协调关系，并用外力与 解除约束的反力表示，得到补充方程
再结合基本静定系的平衡方程，可求得该约束 反力，从而将超静定问题转化为静定问题求解
进一步可计算内力、应力、变形及强度、刚 度、稳定性等
用能量法解超静定问题的特点：
由铰B平衡，得 FAB F Ft，FBC 2F
应变能
V
L 2EA
(F Ft )2
2F 2
1 (Ft
)
V Ft
L
(F EA
Ft )
实际上，Ft 0 水平位移
1
FL EA
注：变形在弹性范围内
例10-4. 试求悬臂梁自由端的挠度与转角。
F
EI , L
MB
A
B
解：弯矩 M Fx
，
应变能
（注意：内力正负规定应一致）
单位力法
M
FL3
wB
M
L
EI
dx
3EI
M M dx
M 2 F dx
L F EI
L 2EI
V F
注：线弹性、小变形条件下，单位力法得到的 位移等于卡氏第二定理的结果，但两者的 概念与方法有所区别。
（2）转角
1
加单位力偶，相应内力
A
B
M 1
单位力法
B
M
M2
1 2
Fa
1 2
F sin 30 x
F1 sin 60 x
假定各力同时按比例加载至最终值
外力的余功
Fi
Wc
idFi
0
F1 F2 Fn
A
B
余能
Fi
Vc idFi Vc (Fi )
1 2
n
0
假设仅第i个外力有微小增量dFi，则余能的变化
dVc
Vc Fi
dFi
外力余功的变化 dWc idFi
外力余功等值于余能 dWc dVc
i
Vc Fi
余能定理
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
E3 A3
0
——补充方程
解得
FN 3
FD
1
F
2EAcos3
E3 A3
FN1 FN 2
F
2 cos
E3 A3
EAcos2
例10-1构0 架，各杆弹性模量均为E，横截面积 A1＝2A，A2=3A，A3＝4A，铰A受力F。 试求各杆应力（AD=L, ＝30, 60）
C2
B 1
3
D
A
F
解：一次超静定
内力虚功 dWi dWe (Md~ Fsd~) 一般情况下 dWi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
杆内力的总虚功
Wi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
Fi~i (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
适用非线弹性情况
虚位移原理
（2）单位力法
小变形假设下，结构因实际外力作用而产生的位移，
3. 虚位移原理与单位力法
（1）虚位移原理
变形体：约束—支座约束、变形的几何相容
虚位移——满足约束条件的微小的位移
平衡条件等价于 We Wi 0
杆外力的总虚功
We Fi~i
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
截取微段
平衡
M
M+dM d
d
dWe dWi 0
2
2
外力虚功
Fs dx
Fs+dFs
dWe Md~ Fsd~
F
B
A
解：杆AB，M Fx
C
杆BC，M Fa，FN F
应变能 V
a F 2 x 2 dx 0 2EI
2a F 2a 2 dx 0 2EI
2a F 2 dx 0 2EA
位移
Ay
V F
7Fa 3 3EI
2Fa EA
思考：在D处也作用有水平力F， B