U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
l
M 2( x)dx 2EI
（9-8）
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例1 试分别计算图示各梁的变形能 例1图
解：求各梁的变形能 a b
c
Ua
0l
M 2( x)dx 2EI
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l3 6EI
Ub
0l
M 2( x)dx 2EI
W 1 P
2
(9-2)
式中： P —— 广义力（力、力偶）
——广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义
位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶， 相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。
（二）变形能和比能
1. 轴向拉伸与压缩时的变形能
a. 轴力为常量： ( N P,l Nl )
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
2. 变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）
EA
U W 1 Pl N 2l
2
2EA
（9-3）
u
U V
N2 2EA2
2
2E
1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
b.轴力为变量：
dx 段的伸长为：
(dx) N ( x)dx EA
图9-1
dx 段的变形能： dU 1 N ( x) d( x)
2 N 2 ( x)dx
2EA
比能：
u( x)
dU dV
N 2( x)dx 2EA A dx
1 (x)(x)
2
整个杆内的变形能：
U
l dU
l
N 2( x)dx 2EA
（9-4）
2. 杆件受纯剪切时的变形能 比能：u 1 2 1 G 2
2 2G 2
变形能：U uV 1V
2
3. 圆轴扭转时的变形能
a.
扭矩为常量
(Mn
m,
Mnl ) GI P
0l
M12( x)dx 2EI
0l
(
P x)2 dx 2 2EI
P 2l 3 24EI
BC段：
U BC
l
02
M
2 2
(
x
)dx
2EI
l
02
( Px)2dx 2EI
P 2l 3 48EI
总变形能：U
U AB
UBC
UBD
P 2l 3 16EI
3P2l 4EA
（三）利用功和能的原理求位移
U P2l3 3P2l 16EI 4EA
2
只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷 载方向与荷载相对应的位移。
例2 求图示结构荷载作用点C 处的垂直位移 Cy。 例2图
解（一）受力分析
由平衡条件解出：
受力图
N 2P 3
RA
1 2
P
（二）变形能计算
BD杆：
U BD
N2 2l 3
2EA
3P2l 4EA
受力图
AB段：
U AB
若有很多外力（广义力）作用于杆上，则该杆的变形能U 对于任一外力的偏导数，就等于该力作用点沿该力作用方向的 位移（广义位移），表达式可写成
n
U Pn
(n
1, 2,L
L
, n)
（9-10）
（二）卡氏定理的应用
1. 横力弯曲时（不计剪力的影响）
n
U Pn
Pn
(l
M 2 ( x)dx ) 2EI
2GI P
（三）利用功能原理求位移
U
W
1 2
P
Cy
P2l3 3EI
P2l3 2GI P
P 2
Cy
,
Cy
2Pl 3 3EI
Pl 3 GI P
二、求位移的卡氏定理
（一）卡氏定理（推导略）
U
P
（9-9）
变形能对 P 的偏导数等于 P 作用点在 P 作用方向的位移 。
式中： ——广义位移（线位移，角位移） p ——广义力（力、力偶）
U 1 P 1 m Mn2l
2
2
2GI P
图9-2
b. 扭矩为变量：
U
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
பைடு நூலகம்
（9-5）
4. 杆件受弯曲时的变形能
a.
纯弯曲时：( M
m0 ,
Ml EI
)
U
W
1 P
2
1 2
m0
M 2l 2EI
（9-6）
图9-3
b. 横力弯曲时（剪力 Q 的影响忽略）
M 2( x)dx U l 2EI
U
W
1 2
P
Cy
P2l3 16EI
3P2l 4EA
1 2
P Cy
解得：
Cy
Pl 3 8EI
3Pl 2EA
（与 P 方向一致）
例3 直角水平圆截面折杆 ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为 EI，抗扭刚度为 GIp。试求 C 处的垂直位移。
例3图
解（一）内力分析
BC杆： M ( x) Px AB杆： M ( x) Px
（9-7）
一般梁中各段弯矩 M(x) 不同。 则上面积分应分段进行，然后求出 其总和。
5. 组合变形时的变形能
杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同 作用下，杆件内同时有轴力N(x)，扭矩 Mn( x) ，弯矩M(x)和 剪力Q(x)存在。在忽略了剪力Q(x)的影响后，整个杆件的变 形能可表示为：
0l
M02dx 2EI
M02l 2EI
Uc
0l
M 2( x)dx 2EI
0l ( Px
M0 )2 dx 2EI
0l
1 2EI
(
P
2
x2
2PxM0
M
2 0
)dx
P 2l 3 PM0l 2 M02l 6EI 2EI 2EI
从例1 可看出 Uc Ua Ub
（三）利用功能原理计算位移
利用 U W 1 P 可以计算荷载作用点的位移，此方法
l
M(x) EI
M ( x) dx
Pn
（9-11）
2. 对于桁架结构（各杆受拉或压）
U
m
N i2 li
(i 1, 2,L L
,m)
i1 2EAi
n
U Pn
m
N i li
i1 EAi
N i Pn
（9-12）
3. 组合变形（不计剪力的影响）
U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M 2( x)dx 2EI
l
M
2 n
(
x)dx
2GI P
n
U Pn
l
N(x) EA
N ( x) Pn
dx
l
M(x). EI
M ( x) Pn
dx
l
Mn ( x). Mn ( x) GIP Pn
dx
(9-13)
例4 求图示梁 B 处的挠度和转角。
Mn Pl
（二）变形能计算
U BC
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l 3 6EI
U AB
0l
(
Px)2 2EI
dx
(Pl)2 l 2GI P
P 2l 3 6EI
P 2l 3 2GI P
总变形能为：
P2l3 P2l3 P2l3 P2l3 P2l3
U
U BC
U AB
6EI
6EI
2GI P
3EI