wA
F
A
B
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ） ③求外力功W 和应变能Ve
1 W FwA 2
1 F 2l 3 FwA 2 6 EI
2 l ( Fx ) dx M 2 dx F 2l 3 Ve 0 2 EI 0 2 EI 6 EI l
Fl 3 wA 3EI
l
由功能原理有
由平衡方程和对称条件有 F1 F2 ，Dl1 Dl2
2 F1 cos + F3 F
1 1 F Dl3 ( F1Dl1 + F2 Dl2 + F3Dl3 ) 2 2
（1） Dl3
（2） （3）
F
Dl1
（2）、（3）代入（1）得 Dl3 cos Dl1
变形几何方程
即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn …… Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn …… 其中dij 是与载荷无关的常数。 注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
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16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
( )
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移， 其它位移的求解有待进一步研究功能原理。
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10
图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 ①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
B
C
D




A
Dii和 Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示
是由i点和j点的力引起的位移， Dji和 Djj亦可以类推得到。
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22
先加Fi i
Fi
Dii Dij
后加Fj Fj
Dji Djj
Fi
Fi
j
O
Dii
Dij
Di
外力功为
Fj
Fj
1 1 W Fi D ii+ Fj D jj + Fi D ij 2 2
Me Me
j
j
M e2 l 1 T 2l Ve W M ej 2 2GI P 2GI P
T为变量时
T ( x) Ve dx l 2GI P
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5
2
材料力学
3、平面弯曲
dq
纯弯曲
dq M d x EI 1
M dq dx EI
1 M2dx Ve W M d q 2 2 EI
1 1 1 1 Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + F j D ji 2 2 2 2
1 1 Fi (Dii + Dij ) + Fj (D jj + D ji ) 2 2 1 1 Fi Di + Fj D j Clapeyron原理 2 2
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wC l 3EI
W F dD
0
D
F
F F F dD
F—D 图下方面积 对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为广义位移。
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D
D
D
D
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关， 只与载荷与位移的最终数值有关。 加载顺序： F1, F2, …Fi，… 不同时加载，加载顺 F2, F1, … Fj，… 序不同，外力功不变。 …………… 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？ 按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
M
T
FN
dx
整个杆件的应变能为
Ve
2 FN ( x )
l
2 EA
dx +
M 2 ( x)
l
T 2 ( x) dx + dx l 2GI 2 EI P
21
材料力学
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四、功的互等定理(线弹性体)
Fi i j Dii i Dij 位移 命名 Dji Fj
j Djj
位移D的第一个下标表示某点处的位移， 第二个下标表示由那点的力引起的位移。
3
材料力学
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F F
l
F F Dl
Fl Dl EA
2 FN l 1 F 2l Ve W F Dl 2 2 EA 2 EA
Dl
FN为变量时
F ( x) Ve dx l 2 EA
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4
2 N
材料力学
2、扭 转
Me
M el j GI P
Fj
Fj
O
Dj
Djj
Dji
Fi Dij Fj D ji
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24
1 1 W Fi Dii + Fj D jj Ư Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + Fi D ij 2 2 2 2
Fi Dij Fj D ji
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn* =lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn) =(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl 外力作的总功为：
W ( F1D1 + +Fi D i + + Fn D n )

1
0
l dl
1 1 1 F1D1 + + Fi D i + + Fn D n 2 2 2 n 1 Fi D i i 1 2
F3l F32l F12l F22l + + （1）考虑物理方程得 F EA EA cos EA cos EA
（2）、（3）代入上式并化简得得
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F3 cos F1
2
几何方程 和物理方 程的联立
11
§10.2
一、外力功的计算
互等定理
Fi —— 广义力（集中力，力偶）
1
n
D1
D2
Di
图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点 位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下 的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。 所以Clapeyron原理不符合叠加原理。
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注 意
1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体； 2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移；
FwC [qdx w( x )] qAw
l
FwC 5Fl 4 Aw q 384 EI
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27
装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理 求C处的约束力。 F 解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。 2 a 3 (l a)a 2 ( 3l a ) a wB + 3EI 2 EI 6 EI
F
F—D图下方面积
dD
D
D
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2
对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
F F
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即
Ve =W
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设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。 加载过程中 ，任一时刻的位移为： D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
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先加F1后加F2
F1
F2
先加F2后加F1
F2
F1
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理
线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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1 Ve W Fi D i i 1 2
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。 Fi F2 F