2021年高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛物线课时作业理
1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
2．(xx 年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
3．(xx 年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2
＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点
C 的横坐标是( )
A ．2 B.12 C.32 D.5
2
4．已知M 是y ＝x 2
4
上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2
＝1上，则
|MA |＋|MF |的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．10
5．(xx 年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 6．(xx 年浙江)如图X771，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
图X771
A.
|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2
－1
|AF |2
－1
C.|BF |＋1|AF |＋1
D.|BF |2
＋1|AF |2
＋1
7．(xx 年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )
A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3
8．(xx 年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2
＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )
A.83
B.8 33
C.163
D.16 33
9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)
的焦点F 是椭圆C 1的顶点．
(1)求C 1与C 2的标准方程；
(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →
＝0，求直线PQ 的方程．
10．(xx 年北京)已知抛物线C ：y 2
＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C
交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．
(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．
第7讲 抛物线
1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝
3
－2－2
＝－3
4.故选C.
2．C 解析：假设P (x 0，y 0)在第一象限，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 2
0＝4
2x 0＝4 2×3 2＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝1
2×2×2 6
＝2 3.
3．C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝
3.所以点C 的横坐标为x 1＋x 22＝3
2
.故选C.
4．B 解析：如图D134，抛物线的准线l ：y ＝－1，由抛物线定义可知，当M 为过C 且与l 垂直的直线与抛物线的交点时，|MC |＋|MF |最小为5，∴|MA |＋|MF |的最小值为5－1＝4.故选B.
图D134
5．D 解析：因为F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，所以F (1,0)．
又因为曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D.
6．A 解析：
S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1
|AF |－1
. 7．C 解析：由抛物线定义知MN ＝MF ，显然三角形MNF 为正三角形，MN ＝MF ＝NF ＝4，则点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.
8．B 解析：方法一，由题意，可得直线PQ ：y ＝3(x －1)与抛物线y 2
＝4x 联立得：
3x 2
－10x ＋3＝0.所以点P (3,2 3)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2 33，则MN ＝2 3＋2 33＝8 33.在△MNF
中，MN 边上的高h ＝2，则S △MNF ＝12×2×8 33＝8 3
3
.故选B.
方法二，不妨设交点P 在x 轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，且1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1, |PM |－|QN ||PM |＋|QN |＝|PF |－|QF ||PF |＋|QF |＝12，故|PF |＝4，|QF |＝43
. 所以S △MNF ＝12×|MN |×p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43×32×2＝8 33
.故选B.
9．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，
依题意有2c ＝4 2，c a ＝63.解得a ＝2 3，c ＝2 2，又b 2＝a 2－c 2
，则b ＝2.
故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 2
4
＝1.
又抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)开口向上，
且F 是椭圆C 1的上顶点，∴F (0,2)．
∴p ＝4.故抛物线C 2的标准方程为x 2
＝8y .
(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →
＝(x 2，y 2－2)． ∴FP →·FQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.
由此可得，(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2
－4m ＋4＝0. ①
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 212＋y
2
4
＝1消去y 整理，得
(3k 2
＋1)x 2
＋6kmx ＋3m 2
－12＝0. ②
依题意，得x 1，x 2是方程②的两根， Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，
∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2
－12
3k 2＋1
.
将x 1＋x 2和x 1·x 2代入①，得
m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，x 2＝8y 消去y 整理，得
x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.
解得k 2＝12，经检验k 2
＝12
，m ＝－1符合要求．
故直线PQ 的方程为y ＝±
2
2
x －1. 10．(1)解：由抛物线C ：y 2
＝2px 过点P (1,1)得p ＝12
，
所以抛物线C 的方程为y 2
＝x .
抛物线y 2
＝x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.
(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋1
2
(k ≠0)，直线l 与抛物线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，
y 2)，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋12，y 2＝x ，
得4k 2x 2
＋(4k －4)x ＋1＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝1－k k 2
，x 1x 2
＝1
4k 2
.
因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x . 则点A 的坐标为(x 1，x 1)．
因为直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，
所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1，x 1y 2x 2.
因为y 1＋
x 1y 2x 2－2x 1＝y 1x 2＋x 1y 2－2x 1x 2
x 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋x 1⎝
⎛⎭⎪⎫kx 2＋12－2x 1x
2
x 2
＝2k －2
x 1x 2＋1
2
x 1＋x 2x 2
＝2k －2×14k 2＋12×1－k
k
2
x 2
＝0，
所以y 1＋
x 1y 2
x 2
＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．。