1.1 序数效用函数
1.1.1 偏好关系 1.1.2 字典序 1.1.3 效用函数 1.1.4 偏好关系的三条重要性质
性质 1（序保持性） 对任意 x, y B ， x y ，及, 0,1， x 1 y x 1 y
当且仅当 。
性质 2（中值性） 对任意 x, y, z B ，如果 x y z ，那么存在唯
▪ 随着金融市场的发展及各种金融创新不断出现，各种金融 衍生产品层出不穷，这又给数理金融学的发展提出了更高 的要求，同时也为数理金融学的发展提供了广阔的空间。 数理金融学成为金融工程学的理论基础。现代金融学离不 开数学，因此无论是从事金融理论研究和金融市场决策有 关的实务工作都需要学习数理金融理论，掌握利用数学工 具分析金融问题的方法。数理金融学一方面能使经济和管 理专业的学生掌握定量分析的方法和技术，同时对于数学 和理工科专业的学生来说，通过学习数理金融学也是他们 掌握的数理工具大有用武之地。
——资产定价的原理与模型 郭多祚主编
▪ 数理金融学（Mathematical Finance）是二十世纪后期发展起 来的新学科。数理金融学的特点是数学作为工具对金融学的 核心问题进行分析和研究。金融学的三个基本研究内容之一， 资产定价问题与数学密切相关。数学工具的运用使金融学成 为一门真正的科学。现代金融学产生是由于“两次华尔街革 命”，第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M. Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马科维茨的学 生夏普（W.F. Sharpe）在马科维茨理论的基础上，提出了资 本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。他 们两人的成果获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是 利用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数学推理论 证解决了风险资产的定价问题，是将数学方法应用于金融学 成功的范例，也是划时代的开创性的工作。第二次华尔街革 命是指1973年布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes） 期权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学奖。他们 也是利用数学工具解决了重要的金融衍生产品期权的定价问 题。两次华尔街革命标志着现代金融学的诞生，同时也产生 了一门新的学科：数理金融学。
1.2 期望效用函数
1.2.1 彩票（lottery）及其运算 1.2.2 彩票集合上的偏好关系 1.2.3 基数效用函数存在定理 定理 1.2 (基数效用函数存在定理) 设 B~ 具有性质 1—性质 3 的偏好关系” ”
则存在效用函数U : B R 满足: (1) P Q 当且仅当U (x) U ( y)
▪ 本书以资产定价的原理和模型为主线，主要介绍资产定价 的无套利定价和均衡定价原理，以及以此为依据的债券定 价，风险资产定价和衍生产品定价模型。本书从易到难先 介绍单期模型，然后介绍多期模型。
▪ 各章的基本概念和主要结论分述如下。
第一章
期望效用函数理论与单期定价模型
▪ 第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型 及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型， 是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。
▪ 期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创 立的。期望效用函数是对不确定性的环境中，对于 各种可能出现的结果，定义效用函数值，即vonNenmann and Morgenstren效用函数，然后将此效用 函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首 先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投 资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价 模型。
一的 0,1 使x 1 z ～ y
性质 3（有界性） 存在 x* , y * B ，使对任意 z B ，有 x* zy *
性质 3 是为了证明效用函数存在定理更方便，性质 1 和性质 2 是重要 的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。
1.1 序数效用函数
1.1.5 序数效用函数存在定理 定理 1.1 设选择集 B 上的偏好关系“ ”具有 1.1.4 中的性质 1～ 性质 3，则存在效用函数 U : B R 使得 1. x y 当且仅当U(x) U(y) 2 x ～ y 当且仅当U(x) U(y)
1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数
称ห้องสมุดไป่ตู้
A(x) = V "(x) V '(x)
为阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数。称
T (x) A x 1
为风险容忍函数。称
R(x) xA(x)
为相对风险厌恶函数。
1.3.4 双曲绝对风险厌恶类函数（HARA）
(2) P ～ Q 当且仅当U (x) U ( y)
(3) 设 P , Q B~ , 0,1 ,则U (P (1 )Q) U (P) (1 )U (Q)
1.2.4 von Nenmann-Morgenstren 效用函数
1.2.5 伯瑞特（Pratt）率
给定 von Neumann and Morgenstern 效用函数V X ,定义 Pratt 率 Ah : R R
称投资者为风险中性的。
1.3.2 Markowitz 马科维茨风险溢价
设 (w0 , h~) 满足下列条件
V (w0
~ (w0 , h))
pV (w0
h1) (1
p)V (w0
h2 )
更一般地
V (Ew~ (w~)) E(V (w~))
其中 w~ w0 h~ 。则称 (w0 , h~) 为马科维茨风险溢价（Markowitz risk premium）。
Ah
x
V
x
h V x V x h
h 2V V x
x
命题 2 Pratt 率 A h 对于正仿射变换是不变的
1.3 投资者的风险类型及风险度量
1.3.1 投资者的风险类型 对一般的风险资产 w~ 有,V (Ew~) E(V (w~)) ,则称投资者为风险厌恶型。对一 般地 w~ ，有V (Ew~) E(V (w~)) 称投资者为风险爱好型。效用函数V 是线性函数，