2020届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由已知可得，，则．2．（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：． 3．如图为某省年月快递业务量统计图，图是该省年月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）{}2|650A x x x =-+≤{|B x y ==A B =I [)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,5[]1,5A =[)3,B =+∞[3,5]A B =I 34i 34i12i 12i+--=-+4-44i -4i ()()()()()()()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-1201914~2201914~A ．年月的业务量，月最高，月最低，差值接近万件B ．年月的业务量同比增长率超过，在月最高C ．从两图来看年月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从月来看，该省在年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D【解析】对于选项A ：年月的业务量，月最高，月最低，差值为，接近万件，所以A 是正确的；对于选项B ：年月的业务量同比增长率分别为，，，，均超过，在月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：年、、月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的．4．已知两个单位向量，满足的夹角为（ ）201914~322000201914~50%3201914~14~2019201914~32439724111986-=2000201914~55%53%62%58%50%3201923412,e e 12|2|e e -=12,e eA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】∵，∴， ∴，∴． 5．函数的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】的定义域为，∵， ∴函数奇函数，排除A 、D ，又因为当时，且，所以， 2π33π4π3π412|2|e e -121443e e +-⋅=1212e e ⋅=121cos ,2e e <>=12π,3e e <>=1()cos 1x x e f x x e +=⋅-1()cos 1x x e f x x e +=⋅-(,0)(0,)-∞+∞U 11()cos()cos ()11x x xx e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---1()cos 1x x e f x x e +=⋅-0x +→cos 0x >101x xe e +>-1()cos 01x x e f x x e +=⋅>-故选B ．6．已知斐波那契数列的前七项为、、、、、、．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花朵，花瓣总数为，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前项之和为，前项之和为， 由此可推测该种玫瑰花最可能有层．7．如图，正方体中，点，分别是，的中点，为正方形的中心，则（ ）A ．直线，是异面直线B ．直线，是相交直线C ．直线与所成的角为D ．直线，所成角的余弦值为【答案】C11235813399567862073371111ABCD A B C D -E F AB 11A D O 1111A B CD EF AO EF 1BB EF 1BC 30︒EF 1BB 3【解析】易知四边形为平行四边形，所以直线，相交；直线，是异面直线；直线，C正确．8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，．可知随变化的周期为，当时，输出的．9．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是AEOF EF AOEF1BBEF1BBS0242-4S=1i=2S=2i=4S=1i=2S=2i=S i22019i=2S=R()f x(2)()f x f x+=-[1,2]减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】∵是上的奇函数，且满足， ∴，∴函数的图象关于对称，∵函数在区间是减函数，∴函数在上为增函数，且，由题知，，，∴．10．已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，， ∴．ln 2a =121()4b -=12log 2c =()f a ()f b ()f c ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<()f x R (2)()f x f x +=-(2)()f x f x +=-()f x 1x =()f x [1,2]()f x [1,1]-(2)(0)0f f ==1c =-2b =01a <<()()()f c f b f a <<2F 22:193x y C -=A B 22:(2)1E x y ++=2||||AB AF +98C 1F 21126AF AF a AF =+=+216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+==11．如图，已知，是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的最高点，且，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由已知，得，则，， 于是，得， 又，∴，， 由，及，得，故， 因为与的图象关于对称，则． P Q ()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><x R ()f x 3RP RQ ⋅=uu r uu u r()g x ()f x 1x =()gx ππ()sin()24g x x =+ππ()sin()24g x x =-ππ()2sin()24g x x =+ππ()2sin()24g x x =-3(,)2R A (1,)RP A =--u u r (1,)RQ A =-u u u r 213RP RQ A ⋅=-=u u r u u u r2A =51222T =-4T =2ππ2T ω==π12π22k ϕ⋅+=k ∈Z π||2ϕ<π4ϕ=-ππ()2sin()24f x x =-()g x ()f x 1x =ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424g x f x x x x =-=--=-+=+12．已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴，在中，取的中点为，连接，，则，，∴． 在中，，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为， ∴，，球的表面积为．(或将三棱锥补成长方体求解)．P ABC -PA ⊥ABC ABC △6AB =8AC =AB AC ⊥D AC 3AD DC =O P ABC -D O 40πO 72π86π112π128πP ABC -O ABC 1O R 2PA x =O ABC x 1OO x =1O A 15O A =2225R x =+ABC △AC E 1O D 1O E 1132O E AB ==124DE AC ==1O D =1OO D Rt△OD =OD r 2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=12π2πR 212ππ40πR +=228R =24π112πR =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为 ． 【答案】【解析】，，∴． 14．已知等差数列的前项和为，满足，且，则最大时的值是 ． 【答案】9【解析】设等差数列的公差为，由，可得， 即，得到， 所以，()(1)ln f x ax x =-(1,0)1y x =-a 21()ln ax f x a x x-'=+(1)11f a '=-=2a ={}n a n n S 711S S =10a >n S n {}n a d 711S S =1176111071122a d a d ⨯⨯+=+12170a d +=1217d a =-211111(1)(1)281()(9)22171717n a n n n n S na d na a n a --=+=+⨯-=--+由可知，故当时，最大． 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)(“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．【答案】【解析】观察八卦图可知，含根阴线的共有卦，含有根阳线的共有卦，含有根阴线根阳线的共有卦，含有根阴线根阳线的共有卦， 故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为． 16．点，是抛物线上的两点，是拋物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为 ．10a >1017a -<9n =n S 3143131213123123328C C 3C 14+=A B 2:2(0)C y px p =>F C 120AFB ∠=︒AB D C d ||dAB【解析】设，，则，， ∴， 当且仅当a b =时取等号．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）的内角所对的边分别为，已知．（1）求的大小；（2）若，，且的面积为．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，所以，即， 所以有，因为，所以，所以，，所以， AF a =BF b =2a bd +=222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++3d AB ==≤=ABC △,,A B C ,,a b c 22()sin a c b C +=+B 8b =a c >ABC △a π35+()22sin a c b C +=+2222sin a c ac b C ++=+2222sin a c b ac C +-+=()2cos 1sin ac B C +=()sin cos 1sin C B B C +=(0,π)C ∈sin 0C >cos 1B B +=cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，所以，所以，即． （2）因为， 又，所以，把代入到中，得． 18．（12分）如图所示的多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面．（1）设与的交点为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：由题意可知：平面，从而，∴，又为中点，∴，在中，，∴，∴，0πB <<ππ5π666B -<-<6ππ6B -=π3B =11sin22ac B ac==12ac =22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=10a c +=10c a =-12()ac a c =>5a =+ABCDEF ABCD 2ED FB ∥12DE BF =AB FB =FB ⊥ABCD BD AC O OE ⊥ACF E AF C --3ED ⊥ABCD EDA EDC ≅Rt Rt △△EA EC =O AC DE AC ⊥EOF △3OE OF EF ===222OE OF EF +=OE OF ⊥又，∴平面． （2）面，且，如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，从而，，，，，由（1）可知是面的一个法向量，设为面的一个法向量，由，令，得， 设为二面角的平面角，则，， ∴二面角19．（12分）设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为是坐标原点，且AC OF O =I OE ⊥ACF ED ⊥ABCD DA DC ⊥D DA DC DE (0,0,1)E (2,0,0)A (0,2,0)C (2,2,2)F (1,1,0)O (1,1,1)EO =-uu u rAFC (,,)x y z =n AEF 22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r 1x =(1,2,2)=-n θE AF C --|||cos ||cos ,|3||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u ruu u r uu u r sin θ∴=E AF C --2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F B O 1||||OB F B ⋅=（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆的两交点为，，若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则， ∵，∴，又，，∴，∴，∴． （2）由（1）知，，设直线方程为，由，得，设，，则，， ∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴． ∴的方程为．C 1F l C M N 22MF NF ⊥l 22132x y +=10x ±+=C 2c c a =a =222a b c =+b =1OB F B ⋅OB b =1F B a =ab =2=1c =a =b =22132x y +=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =-221132x ty x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩22(23)440t y ty +--=11(,)M x y 22(,)N x y 122423t y y t +=+122423y y t -=+22MF NF ⊥220F M F N ⋅=uuuu r uuu r1212(1)(1)0x x y y --+=1212(11)(11)0ty ty y y ----+=21212(1)2()40t y y t y y +-++=22224(1)8402323t t t t -+-+=++22t =t =l 10x ±+=20．（12分）已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一极大值点； （2）在区间上有且仅有一个零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：定义域为，且．令，，，．∵在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减．又，， ∴，使得，∴当时，；当时，， 即在区间上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值点，1π()4cos()23xf x x e =--()f x '()f x ()f x '[π,0]-()f x [π,0]-()f x (,)-∞+∞1π()2sin()23xf x x e '=---1π()2sin()23xg x x e =---[π,0]x ∈-1π()cos()23xg x x e '=---[π,0]x ∈-xy e =-[π,0]-1πcos()23y x =--[π,0]-()g x '[π,0]-π(0)cos()103g '=---<ππππ1(π)cos()023g e e-'-=----=->0(π,0)x ∃∈-0()0g x '=0[π,)x x ∈-()0g x '>0(,0]x x ∈()0g x '<()g x 0[π,)x -0(,0]x 0x x =()g x ()f x '[π,0]-0x 1π()2sin()23xf x x e '=---()f x '[π,0]-在上单调递增，在上单调递减，而，，故在上恒有，∴在上单调递增，又，，因此，在上有且仅有一个零点．21．（12分）月，全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分．设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．（1）经过轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求，，；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式，并由此求出数列的()f x '0[π,)x -0(,0]x ππππ1(π)2sin()1023f e e-'-=----=->π(0)2sin()1103f '=---=>()f x '[π,0]-()0f x '>()f x [π,0]-ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<π(0)4cos()1103f =--=>()f x [π,0]-112019111-012231X X n i p i 1p 2p 3p 00p =11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠1p 2p 3p a c b {}n p通项公式．【答案】（1）见解析；（2）①，，；②，，．【解析】（1）的可能取值为，，．，，．∴的分布列为（2）①由（1）知，， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得分； 二是两轮有一轮甲得分，有一轮甲得分，∴， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得分；二是三轮有两轮各得分，一轮得分；三是轮得分，两轮各得分；四是两轮各得分，轮得分，116P =2736P =343216P =6(1)7a b =-1(1)7c b =-11(1)56n n P =-X 1-01121(1)(1)233P x =-=-⨯=12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=121(1)(1)236P x ==⨯-=X 16P =10112211117C ()()662636P =⨯+=110110111-∴．②由，知， 将，，，代人，求得，， ∴，，∴，∴．∴， ∵，∴是等比数列，首项和公比都是． ， ∴． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为，的参数方程为（为参数）．（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++11i i i i P aP bP cP +-=++1111i i i a cP P P b b+-=+--00P =116P =2736P =343216P =617a b =-117c b =-6(1)7a b =-1(1)7c b =-116177i i i P P P +-=+117166i i i P P P +-=-111()6i i i i P P P P +--=-1016P P -=1{}n n P P --16116n n nP P --=01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n n P P P P P P P P --=+-+-++-==--L xOy O x 1C 2sin ρθ=2C 1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1C 2C（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）的直角坐标方程，的普通方程．（2）由（1）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为， 则与相交，到曲线距离最小值为，最大值为， 则点到曲线距离的取值范围为． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知，，．证明：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵，，，∴，， ∴，P 1C P 2C ()2121:1x y C +-=20C y -=[1C ()2211x y +-=2C 0y -+=1C (0,1)1r =1C (0,1)2C 112d ==<1C 2C P 2C012d r +=P 2C [0a >0b >23a b +=2295a b +≥3381416a b ab +≤0a >0b >23a b +=320a b =->302b <<222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥∴当，时，的最小值为， ∴． （2）∵，，，∴，当且仅当时，取等号，∴， ∴时，的最大值为，∴．65b =3325a b =-=22a b +952295a b +≥0a >0b >23a b +=3≥908ab <≤322a b ==334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--98ab =334a b ab +81163381416a b ab +≤。