讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系祁丽梅学院数学与统计学院 ， 024000摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微一、引言多元函数微分学是数学学习中的重要容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。

尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系1、若二元函数f 在其定义域某点可微，则二元函数f 在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：若二元函数在()000,y x p 可微，则二元函数()y x f z ,=在()000,y x p 存在两个偏导数，且全微分y B x A dz ∆+∆=中的A 与B 分别是()00,y x f A x '=与()00,y x f B y '=其中y x ∆∆,为变量y x ,的改变量，则dy y dx x =∆=∆,，于是 二元函数的全微分为()()dy y x f dx y x f dz y x 0000,,'+'=类似的n 元函数()n x x x f u ,,,21 =在点()n x x x Q ,,,21 的全微分为nndx x fdx x f dx x f dx x f du ∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=222211我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两个偏导数，反之二元函数存在两个偏导数却不一定可微。

例1函数()xy y x f =,在原点()0,0存在两个偏导数，由偏导数定义有()()()00lim 0,00,lim0,000=∆=∆-∆='→∆→∆x xf x f f x x x ()()()00lim 0,0,0lim0,000=∆=∆-∆='→∆→∆yy f y f f y y y 两个偏导数都存在，但()xy y x f =,在原点()0,0不可微证明：假设它在原点可微()()00,00,0=∆'+∆'=y f x f df y x ()()y x f y x f f ∆⋅∆=-∆+∆+=∆0,00,0()()22y x ∆+∆=ρ特别地，取y x ∆=∆ 有 x x y x f ∆=∆=∆⋅∆=∆2()()()x x y x ∆=∆=∆+∆=22222ρ于是0212limlim 0≠=∆∆=-∆→∆→xx dff x ρρ 即 dx f -∆比ρ不是高阶无穷小()0→ρ。

与可微定义矛盾，于是 函数()xy y x f =,在原点()0,0不可微。

二元函数()y x f z ,=在()000,y x p 的全微分()()y y x f x y x f dz y x ∆'+∆'=0000,,涉及函数()y x f ,在点()000,y x p 邻域所有点的函数值，而偏导数()00,y x f x '与()00,y x f y '存在并不能保证函数()y x f z ,=在()000,y x p 可微。

2、若二元函数函数f 在其定义域的某点可微,则二元函数f 在该点连续，反过来则不一定成立。

3、函数()y x f z ,=在()000,y x p 可微是指()y x f ,在该点的全增量z ∆与其全微分dz 之差是关于ρ的高阶无穷小，当0,0→∆→∆y x 时的高阶无穷小，即()()()ρο+∆∂∂+∆∂∂=∆y y x yz x y x x zz 0000,, 其中()()22y x ∆+∆=ρ从全微分定义可知，()()[]()ρο=∆+∆-∆y y x f x y x f z y x 0000,,，则()0lim 0=∆→→z y y x x因此函数()y x f z ,=在()000,y x p 连续。

若函数()y x f z ,=在点()000,y x p 可微，则它在该点一定连续，但反之是不一定成立的。

例2()22sin ,y x y x f +=在原点()0,0连续，但()22sin ,y x y x f +=在原点()0,0不可微。

事实上 ()()xx x f x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆sin lim 0,00,0lim 00不存在 ()()yy y f y f x y ∆∆=∆-∆+→∆→∆sin lim 0,00,0lim00也不存在 即 该函数在原点()0,0的偏导数是不存在的。

例2设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,,2222222y x y x y x y x y x f则()y x f ,在点()0,0连续，偏倒数存在，但在该点不可微。

1）()()()00,00,0lim 0,00=∆-∆+='→∆xf x f f x x()()()00,00,0lim0,00=∆-∆+='→∆yf y f f y y故()y x f ,在点()0,0偏导数存在2）222222212120y x x xy y x y x y x +≤≤≤-+所以()()()0,00lim 2220,0,f y x yx y x ==+→，故()y x f ,在点()0,0连续。

3）()()()()()2220,0,0limlim y x yx dff y x ∆+∆∆∆=-∆→∆∆→ρρ此时，若取x k y ∆=∆，则()()()()()()()2302220,0,1limlimkx x k y x y x x y x +⋅∆∆⋅=∆+∆∆∆→∆→∆∆此极限显然不存在，所以ρρdff -∆→0lim不存在，故()y x ,在点()0,0不可微。

3、二院函数f 在其定义域某点是否连续与偏导数存在无关。

我们知道，若一元函数()x f y =在点0x 可导，则()x f y =在0x 连续。

但反过来若一元函数()x f y =在0x 连续，则它在该点的导数却不一定存在。

这就是所谓的可导必连续，连续不一定可导。

然而，二元函数()y x f z ,=在某点()000,y x p 有关于x 和y 的两个偏导数存在，可是()y x f z ,=在点()000,y x p 却不一定连续。

这是因为()y x f z ,=在点()000,y x p 存在关于x 的偏导数()00,y x f x '，只能得到一元函数()0,y x f z =在点0x 连续。

同样，由()00,y x f y '存在，只能得到一元函数()y x f z ,0=在0y 连续，但是，并不能得出()y x f z ,=在点()000,y x p 连续。

例4()⎩⎨⎧=≠+=0,10,,22xy xy y x y x f()()()()0lim lim0,00,0lim 0,00200=∆=∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xf x f f x x x 同理()00,0='y f于是，函数()y x f ,在点()0,0存在两个偏导数，但是沿着直线0=y ，有()0lim 0,lim 2==→→x x f x x 。

沿着直线()0≠=x x y ，有()11lim ,lim 0==→→x x x x f 即函数()y x f ,在点()0,0不存在极限，则函数()y x f ,在点()0,0不连续。

例5 ()22,y x y x f +=在点()0,0连续，但它在点()0,0处偏导却不存在事实上：()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→即()22,y x y x f +=在点()0,0连续，()()xx xx xx f x x x ∆∆=∆+-+∆+=∆∆+→∆→∆→∆0222200lim0000lim 0,0lim ，此极限不存在同理()()yf y f y ∆-∆+→∆0,00,0lim也不存在。

以上两例题说明：1）二元函数()y x f z ,=在点()000,y x p 偏导数存在，二元函数()y x f z ,=在点()000,y x p 可以不连续；2）二元函数()y x f z ,=在点()000,y x p 连续，二元函数()y x f z ,=在点()000,y x p 偏导数也可能不存在；即二元函数()y x f z ,=在点()000,y x p 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关。

但反之是不一定成立的。

4、函数()y x f z ,=的偏导数再点()000,y x p 的某邻域存在，且在点()000,y x p 处连续，则二元函数f 在该点可微。

如果函数()y x f z ,=的偏导数在某点()000,y x p 的某邻域存在，且()00,y x f x '，()00,y x f y '在某点()000,y x p 连续（函数()y x f z ,=在()000,y x p 已经连续），那么函数()y x f z ,=在某点()000,y x p 可微。

把全增量z ∆记作()()0000,,y x f y y x x f z -∆+∆+=∆()()[]()()[]000000,,,,00y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=第一个括号里部分是函数 ()y y x f ∆+0,关于x 的偏增量；第二个括号部分，则是函数()y x f ,0关于y 的偏增量。

对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得()()y y x f x y y x x f z y x ∆++∆∆+∆+=∆200010,,θθ,1,021<<θθ 由于()00,y x f x '，()00,y x f y '在点()000,y x p 连续，因此有 ()()αθ+=∆+∆+00010,,y x f y y x x f x x 0lim 0=→αρ()()βθ+=∆+00200,,y x f y y x f y y 0lim 0=→βρ从而，有()()y x y y x f x y x f z y x ∆+∆+∆'+∆'=∆βα0000,,而 0→+≤∆+∆≤∆+∆βαρβραρβαy x yx ()0→ρ或 ()ροβα=∆+∆y x于是 ()()0000,,y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ ()()()ρο+∆'+∆'=y y x f x y x f y x 0000,, 即函数()y x f z ,=在点()000,y x p 可微。