直线与圆A 组——大题保分练1．已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点．(1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k， 所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1kx －2， 故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ，4，N (－6k,4)． 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3.(2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎛⎪⎫－4k 2，21－k 22，同理可得B ⎛⎪⎫－4k 2，2k 2－12. 因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴． 2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)．(1)过M 作直线交圆于A ，B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程；(2)过M 作圆的切线，切点分别为C ，D ，求切线长及CD 所在直线的方程．解：(1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (x －4)，即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ，则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1， 由|PN |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，得k ＝－4528， AB ：45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4， 代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，y 1＝1，y 2＝－3符合题意．综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4.(2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5.以PM 为直径的圆的方程为(x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0，即x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0，两式相减，得2x －7y －19＝0，所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0.3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d .∵l 被圆C 1截得的弦长为23，∴d ＝ 22－32＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k2， ∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724， ∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )． ∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |.∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5.∵ k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2－32，132.B 组——大题增分练1.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0. 连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0. 故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )．由题设知CM ―→·MP ―→＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以PM 的斜率为－13， 故PM 的方程为y ＝－13x ＋83. 又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105， 所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105， 所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165. 3.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程；(3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)．所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx ＋1，x ＋22＋y －12＝4，消去y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1. 不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3， 故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34. 同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0. 由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 4．已知过点A (－1,0)的动直线l 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N .(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程； (3)探索AM ―→·AN ―→是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)∵l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴k l ＝3， 故直线l 方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .(2)①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，∵PQ ＝23，∴CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， ∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ―→·AN ―→＝(AC ―→＋CM ―→)·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＋CM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→.当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－53， 则AN ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，又AC ―→＝(1,3)， ∴AM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＝－5.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －61＋3k ，－5k 1＋3k ， 则AN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k ， ∴AM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5. 综上所述，AM ―→·AN ―→与直线l 的斜率无关，且AM ―→·AN ―→＝－5.。