λ
h = 0.71nm 2μE
p ，便有：波长 2 μe
2
λ=
当电子质量越大时，其波长就越短，即波动性较弱，粒子性较强。 当电子能量越大时，其波长就越长，即波动性较强，粒子性较弱。 ¾ 氦原子的动能是 E =
3 kT （ k 为玻耳兹曼常数） ，求 T = 1k 时，氦原子的德布罗意波 2
−3 −19
求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
1 a2
⎛ a ⎞ 2 − 2 x2 （提示：ψ 1 ( x) = ⎜ ⋅ 2ax ， a 为常数） ⎟ e ⎝2 π ⎠
2a 3 2 − a 2 x 2 2 ⎛ a ⎞ 2 − 2 x2 xe 解：由ψ 1 ( x) = ⎜ ⋅ 2ax 可知， ψ 1 ( x) = ⎟ e π ⎝2 π ⎠
分别以ψ 1
* * ψ2 左乘上两式，并取积分：
ˆ ψ dτ ) = ψ ∫ ψ ψ dτ = (∫ ψ A ∫ 综上， a ∫ ψ ψ dτ = a ∫ ψ ψ dτ 由于 a ≠ a ，上式成立条件： ∫ ψ ψ dτ = 0 ，
再对后者取共轭： a2
2 ∞ * 2 1 ∞ * 2 1 ∞ * 1 * 2 ∞ 1 ∞ * 2 1
¾ 在 0 K 附近，钠的价电子能量约为 3 eV ，求其德布罗意波长？并讨论 μ e 、 E 对电子 波动性和粒子性的影响。 （提示： 1eV = 1.6022 × 10
−19
J ， μ e c 2 = 0.51 × 10 6 eV ， c = 3.0 × 108 m ⋅ s −1 ）
p= h
解：德布罗意关系 E = hν 又由 E =
h 。 2
2
h r ⎛r h⎞ Ψ1 ⎜ r , ⎟ = 电子自旋向上（S z = ），位置在r 处的概率密度； 2 ⎝ 2⎠ h r ⎛r h⎞ Ψ 2 ⎜ r , − ⎟ = 电子自旋向下（S z = − ），位置在r 处的概率密度。 2⎠ 2 ⎝
¾ 交换对称性
3
2
量子力学
χ11 = α (1) α ( 2)
2
r
r
理含义是什么？ 答： 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还 应该是单值、有限和连续的。
ψ ( r , t ) 表示在 t 时刻 r 附近 dτ 体积元中粒子出现的几率密度。
2
r
2
量子力学
¾
你是如何理解量子论中用算符来表示力学量的？（举例说明）
ˆ ψ = Eψ 。求解 ˆ 作用于某束缚态ψ 将得到本征方程： H 答：例如，当哈密顿算符 H
χ10 =
1 ⎡ ⎣α (1) β ( 2 ) + β (1) α ( 2 ) ⎤ ⎦ 2
χ1−1 = β (1) β ( 2)
χ 00 =
1 ⎡ ⎣α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 ) ⎤ ⎦ 2
计算题Ⅰ（每小题 8 分） ¾ 证明：厄密算符的本征值为实数；并说明厄密算符的这点性质在量子力学中的应用。
h 2
可以把同时测量位置和动量存在一个精度下限；或同时确定一对正则共轭变量，必将 受到得此失彼的限制，该限制直接反映了客体和量具间的相互作用。 ¾ 阐述波函数 Ψ ( x, t ) 、 Φ( p, t ) 的统计意义。 答： ψ ( r , t ) dτ ∝ t 时刻 r 附近 dτ 体积元中粒子出现的概率。
……(5 分)
ˆ2 p − ah 2 T = ∫ ψ ( x ) ψ ( x )dx = −∞ 2μ 2μ π
∞ *
∫
∞
−∞
e
−
a2 x2 2
∂2 − e ∂x 2 1 hω 4
a2 x2 2
dx
……(5 分)
=
¾
− ah 2μ π
2
∫
∞
−∞
e
−
a2 x2 2
e
−
a2 x2 2
(−a ) 2 (1 − a 2 x 2 )dx =
答：氦原子动能为 E = ¾ 利用高斯波包ψ ( x ) = e 证明：由 ψ ( x ) = e
2
−α 2 x 2 / 2
证明测不准关系： Δx ⋅ Δp ∝ h 。
−α 2 x 2
可以看出，
1
粒子位置主要局限在 x ≤ 1 / α 的区域中，即 Δx ∝
α
ψ ( x ) 的 Fourier 变换为： ϕ (k ) =
h2 2 ∂ ψ − ∇ ψ 1 +U ψ 1 ih 1= ∂t 2μ
ih
∗
（1）
h2 2 ∂ ψ2=− ∇ ψ 2 +U ψ 2 ∂t 2μ
（2）
以ψ 1 左乘式（2） ，ψ 2 左乘（1）之共轭方程，再相减，即得：
ih
h2 ∂ ∗ ψ 2 ∇ 2ψ 1∗ − ψ 1∗ ∇ 2ψ 2 （ψ 1 ψ 2 ）＝ ∂t 2μ
答：1925 年，乌伦贝克与高德斯密特提出了电子自旋的假设：与地球绕太阳的运动相 似，电子一方面绕原子核运转，一方面又自转。自旋角动量在任何方向的投影只能取量子 化数值 ±
⎛C ⎞
h 。 2
h 2 C1 = χ 态下S z 取值为 的概率 2 h 2 C2 = χ 态下S z 取值为- 的概率 2
¾ 简述乌伦贝克与高德斯密特提出的电子自旋假设，并解释旋量波函数
∫ψ
∞
* 2
ˆ ψ dτ =a ψ *ψ dτ ， A 1 1∫ 2 1
∞
∫ψ
∞
* 1
ˆ ψ dτ =a ψ *ψ dτ A 2 2∫ 1 2
∞ * 2
ˆ ψ dτ A 1
1
2
∞
* 2
1
即两个（对应于不同本征值）本征函数相互正交。 ¾ 一维谐振子处在基态ψ ( x, t ) =
a
π
1
e
2
−
a2 x2 i − ωt 2 2
−10
−34
）来计量。而这个值远远低于测量宏观现象时
可能出现的系统误差、过失误差等误差。
m 时，求它们各自具有的能量？已知：
me = 9.11× 10−31 kg
； 中 子 质 量
h = 6.626 ×10−34 J ⋅ s
mn = 1.67 ×10−27 kg
； 电 子 质 量
解：利用德布罗意波长公式： λ =
¾
1 2 处， ψ 1 ( x) 取最大值。 （2 分） a ∂ h2 2 r r r ∇ ψ + U ( r )ψ 的两个解， 试证 设ψ 1 ( r , t ) 和ψ 2 ( r , t ) 是薛定谔方程 ih ψ = − 2μ ∂t
明
∫ψ ψ
∗ 1
2
dτ 与时间无关？
证明：ψ 1 和ψ 2 分别满足薛定谔方程：
2
r
r
r r r r 2 r Φ ( p, t ) dp ∝ t 时刻粒子动量取值在 p ~ p + dp 的概率。
波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是 单值、有限和连续的。 ¾ 在宏观现象中不存在测不准关系，而在原子大小范围的微观现象中，必须考虑测不准 关系。这是否说明宏观现象在准确度上比微观现象要优越呢？请予以判断，并说明理 由。 答：这种说法是错误的。微观现象在准确度上比宏观现象要优越。其原因在于，测量 微观现象的误差范围可用 h （ 6.626 × 10 ¾ 何谓微观粒子的波粒二象性？ 答： 微观粒子即不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子， 也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性，又具有经典波动的属性。严格 地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是围观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经 典的概念来理解它的话，那么，微观粒子即具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性， 是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。 ¾ 当自由电子与中子的德布罗意波长均为 10
上两式相等,则有
a = a* ，即 a 为实数。
（3 分）
（5 分）
量子力学中力学量皆用厄密算符表示，而厄密算符的本征值则是力学量的可能取值。 这点性质保证了力学量的实数取值。 ¾ 的这点性质在量子力学中的应用。 证明：厄密算符任何两个（对应于不同本征值）本征函数相互正交；并说明厄密算符
ˆ 为厄密算符， A ˆ ψ = aψ ， A ˆψ = a ψ ； ˆ+ = A ˆ ；且 A 证明： A 1 1 1 2 2 2
⎛ ⎛r h⎞ ⎞ ⎜ Ψ1 ⎜ r , 2 ⎟ ⎟ r ⎝ ⎠ ⎟ 的概率解释。 Ψ ( r , Sz ) = ⎜ ⎜ ⎛ r h ⎞⎟ ⎜ Ψ2 ⎜ r , − ⎟ ⎟ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝
答：1925 年，乌伦贝克与高德斯密特提出了电子自旋的假设：与地球绕太阳的运动相 似，电子一方面绕原子核运转，一方面又自转。自旋角动量在任何方向的投影只能取量子 化数值 ±
该本征方程将得到一系列分立的 En 。En 是体系处于这个束缚态时能量的可能取值。 因此，
ˆ 来表示力学量——能量。其它算符亦可作上述理解。 量子论中用算符 H
也因此，量子论中将算符视为对力学量的测量操作。 ¾ 举例说明： （1）叠加原理的内涵； （2）线性叠加系数的统计意义。 答：叠加原理的内涵可概括如下： （1）体系的任一状态可认为是由某些其他状态线性叠加而成，即ψ (r ) =
习题库 序
¾
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1
量子力学
量子力学部分 简答题（每小题 5 分） ¾
ˆ x 的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关 坐标分量算符 x 与动量分量算符 p
系？并说明该对易关系的物理内涵？ 答： 对易关系为 [x, p x ] = ih ； 测不准关系为 Δx ⋅ Δp x ≥