（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
)0
(
)0
(
|
|
a
a
a
a
a
a
a
n n；
②a
a n
n=
)
(（注意a必须使n a有意义）。

2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:0,,1)
m
n m
n
a a a m n N n
*
=>∈>
、且;
②正数的负分数指数幂:
1
0,,1)
m
n
m n m
n
a a m n N n
a
a
-
*
==>∈>
、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质
①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);
②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=a x a>1 0<a<1
n为奇数
n为偶数
图象
定义域R
值域（0，+∞）
性质（1）过定点（0，1）
（2）当x>0时，y>1;
x<0时,0<y<1
(2) 当x>0时，0<y<1;
x<0时, y>1
(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义
如果(01)
x
a N a a
=>≠
且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N
a
x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数
对数形式特点记法
一般对数
底数为a0,1
a a
>≠
且log N
a
常用对数底数为10
lg N
自然对数底数为e ln N
2
（1）对数的性质（0,1
a a
>≠
且）：①1
log0
a
=，②log1
a
a
=，③log N a
a N
=，④log N a
a
N
=。

（2）对数的重要公式：
①换底公式：log
log (,1,0)log N N
a b
b
a
a b N =>均为大于零且不等于； ②1
log log b
a a
b =。

（3）对数的运算法则：
如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③)(log log R n M n M a n
a ∈=；
④b m
n
b a n
a m log log =。

图象
1a >
01a <<
性
质
（1）定义域：（0,+∞）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数
（5）在（0,+∞）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数
指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象
注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，
1
2
y x
=，y=x-1方法：可画出x=x0；
当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，
1
2
y x
=，y=x-1；
当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，
1
2
y x
=，y=x，y=x2，y=x3。

y=x y=x2y=x31
2
y x
=
y=x-1
定义域R R R [0，+∞）{}
|0
x x R x
∈≠
且
值域R [0，+∞）R [0，+∞）{}
|0
y y R y
∈≠
且
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，+∞）时，增；
x∈(,0]
-∞时，减
增增x∈(0,+∞)时，减；
x∈(-∞,0)时，减
定点（1，1）。