R R`
2 2
u
V4
dudv
2
=n
（n − m ）（ − −m 1 1 （ − ） = 3 3 3 3 2 3 3
2
α
β
β α） 6α β
3 3
1
例2 ： 证明
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫ f (u)du
R −1
其中R： 其中 ：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示， 是由直线X+Y=1。X+Y=证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X+Y=1 X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， Y=1， Y=- 所组成。作变换得：u=x+y， v=xv=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R： 则此函数组将xy面上的正方形R xy面上的正方形 |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： uv面上的正方形R` -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 1<=u<=1， 1<=v<=1。 y
y=βx
y
y=αx
v
β
y2=nx R y2=mx
o x
α
0
R`
m
n
u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 2 作变换：ｕ＝ y 作变换：ｕ＝ v=y/x
x
∫∫ dxdxy
R
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 ｘｙ做表面上 ｕｖ α 矩形域Ｒ β 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
1
1 1 = ∫ dv ∫ du = * (1 + 1) ∫ f (u)du 2 −1 −1 2 −1
1
=
−1
∫ f (u)du
两点说明： 两点说明： 1、若变换T：X=X（u，v）， 、若变换 ： ），Y=Y（u，v）。在R` ）。在 （ ， ）， （ ， ）。 的个别点上有J=0。则结论依然成立。 的个别点上有 。则结论依然成立。 2、事实上，若 ∃ P`（u0，v0）∈ 。使J(u0,v0)=0。 、事实上， R`。 （ 。 ）。则根据变换 则根据变换T， 面上 ε`）。则根据变换 ，在XY面上 的小邻域U（ ， 也得到面积为 δ ε 的小邻域 （p，ε ）。 小邻域U`（ 小邻域 （P`, 而在其他点上J=0。则在R`上作面积为 δ ε ` 的 。则在 上作面积为 而在其他点上
二重积分的换元
主讲人： 主讲人：汪凤贞
六、二重积分的换元（变换） 二重积分的换元（变换）
计算二重积分时， 计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲 线比较复杂。 线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二 重积分计算中也有相应的换元法则。 重积分计算中也有相应的换元法则。
∀（ ｋ， ｋ ∈Ｒ ｕｖ） ｋ
｀
又由已知得 ∀（ ， ） ∈Ｒ，∃！（ ｋ
ｋ ｋ
ξ η
∆δｋ ≈ Ｔ（ ｋ， ｋ） Q∆δｋ Ｊ δｋ｀ ， ｕｖ ， ＝ ∆ ｀ ∆δｋ｀
β ∈ α ， ）Ｒ
｀ ｋ ｋ
ｋ
＝ｘ（ ｋ β ）， ＝ｙ（ ｋ β ） ξｋ α ，ｋ η α ，ｋ ｋ
于是积分和
η ∑ f（ξ ， ）∆δ
R R`
因为f(x,y)在R 连续。所以可积。用任意分法 将 证：因为 因为 在 连续。所以可积。用任意分法T将 R分成 个小区域：R1,R2 ，…，Rn。又由于复合函 分成n个小区域 分成 个小区域： ， 。 数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在R’ 连续，所以可 在 连续， 积 。设其面积为
1 ∂（x，y） J = = = ∂（u，v） ∂（x，y） ∂（x，y） − − 1
y2 2 y
x y
x2
x 1 x
= −
3 y2 x 4 1 1 4 u （ = x = ‘ ） = u，（ ） = 2 2 y2 y2 x y v v4 y
x3
+
x3
∴
根据定理3： = 根据定理 ： S
∫∫ dxdy = ∫∫
∫∫ f ( x(u, v), (u, v)) J dudv
R′
例１ 求两条抛物线
y
2
=mx，=nx
y
2
与两条直线y= 所围成的区域Ｒ 与两条直线 α x，y=β x 所围成的区域Ｒ的 ， 面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０ 面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０< α < β Ｓ。其中 矩形域Ｒ‘m ≤ u ≤ n 矩形域Ｒ ： α ≤v≤β
x + y =1
y − x = −1
y
1
Ro `
y − x =1
x + y = −1
x
-1
o
-1
1
x
1 1 ∂（x，y） J= = = =1/ 2 ≠ 0 ∂（x，y） ∂（x，y） 1 1 ∂（x，y） 1 − 1
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫∫
R 1 1 R`
1 f (u) dudv 2
n k =1 k k
k
≈ ∑ f（x（
k =1
n
β α，
k
k
y ）， （
β α，
kkJ ））（β α，kk
∆ ）
δ
k
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 y=y(u,v)在 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连 续偏导数。反函数组u=u(x,y) u=u(x,y)， 续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由 连续知必一致连续。 连续知必一致连续。 因此当分法T的细度||T|| 0时 分法T` 因此当分法T的细度||T|| → 0时，分法T` 的细度||T`||也趋于0 ||T`||也趋于 的细度||T`||也趋于0。
定理3 ((x,y)在有界闭区域 连续， 在有界闭区域R 定理3 若((x,y)在有界闭区域R连续，函数组 =y(x,y） uv坐标面上的区域 坐标面上的区域R x=x(u,v),y =y(x,y）将uv坐标面上的区域R一 对一变换成xy坐标面上的区域R且x=x( u,v）， 对一变换成xy坐标面上的区域R u,v）， xy坐标面上的区域
L ∆δ1，∆δ2， ，∆δｎ 。
１ ２ ｎ
于是在R’上有对应的分法 ， 分成n个小区 于是在 上有对应的分法T’，将R’分成 个小区 上有对应的分法 分成 域 R1’,……R’ ,设其面积为 ∆δ｀， δ｀ L ∆δ｀ 设其面积为 ∆ ，， 。 则根据函数行列式的几何性质， 则根据函数行列式的几何性质，
y=y（u,v） R’上存在连续偏导数。（u,v 上存在连续偏导数。（ y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） ∀ 有
∈R,
∂x ∂( x , y) J= = ∂u ∂y ∂( x , y) ∂u
∂x ∂v ≠ 0 ∂y ∂v
则：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv
lim ∑ f (
T →0 k =1 n
n
ξ ,η )∆δ
k k k k
k
= ∫∫ f ( x, y)dxdy
R
T ` →0
lim
∑ f ( x(α , β
k =1
) J(
α ,β
k
k
)∆
δ
` k
= ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv
R`
对（*）式两边取极限 ）式两边取极限||T||-0时，有||T`||-0。 时 。 故有：