安徽省宣城市2019-2020学年高二期末考试数学试题（理科）考生注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名，考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域． 3．考生作答时，请将答案答在答题卷上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考试结束时，务必将答题卡交回．─、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从某校高二100名学生中采用等距离系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从000到999，若第一组中抽到的号码是003，则第三组中抽到的号码是 A023B ．033C ．203D ．3032．甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是A ．0B ．1C ．2D ．33．已知一组数据()1,2，()3,5，()6,8，()00,x y 满足线性相关关系，若其线性回归直线方程为ˆ2yx =+，则00x y −的值为 A ．5−B ．3−C ．2−D ．1−4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与都是红球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球5．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的十进制数是A ．49B ．50C ．81D ．976．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则丁获得“手气最佳”（即丁领取的钱数大于其他任何人）的概率是 A ．34B ．13C ．310D ．257．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是158，则m 的整数值为 A ．6 B ．7 C ．8D ．98．不等式220x x −−<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为A ．–11a ≤≤B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a −<≤9．已知点1F ，2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是A B C D10．已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≤B ．0a ≤C ．12a ≤−D ．4a ≤−11．若120︒的二面角l αβ−−的棱l 上有A ，B 两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于A B ．2C D 12．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点，过点1F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线的右支相交于点B ，若A 是1BF 上的一个靠近点1F 的三等分点，且210BF =，则该双曲线方程为A ．22146x y −= B ．22111610x y −= C ．2211636x y −= D ．2213664x y −= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“对任意x R ∈，都有2xx ≤”的否定是____________．14．如图，风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为____________．15．双曲线222:1(0)3x y C a a −=>的一条渐近线的倾斜角为60°，1F ，2F 为左、右焦点，若直线2x =与双曲线C 交于点P ，则12PF F 的周长为____________．16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ．若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．已知命题p ：方程22121x y m m+=+−表示焦点在y 轴上的双曲线； 命题q ：不等式()24421x m x >+−恒成立． 若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（Ⅱ）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛； （Ⅲ）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，D 是棱1AA 的中点，且1122AC BC AA ===，BD =（Ⅰ）证明：平面BCD ⊥平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角1A BD C −−的大小．如图，已知圆22:(16E x y ++=，点P 是圆E 上任意一点，且F ，线段PF 的垂直平分线与半径PE 相交于点Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ方程；（Ⅱ）已知A ，B ，C 是轨迹Γ的三个动点，A 与B 关于原点对称，且||||CA CB =，当ABC 的面积为85时，求点C 的坐标．21．（本小题满分12分）如图1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ．F ．若2AB AE ==，5CD =，1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）．（Ⅰ）证明：AF BD ⊥；（Ⅱ）若//CF DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为18，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线方程为1x =−，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，且2OM k =． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若过()4,0T 且互相垂直的直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于P ，Q ，R ，S 四点，求四边形PRQS面积的最小值．安徽省宣城市2019-2020学年高二期末考试数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13．存在0x R ∈，使得002xx > 14．1315．1216三、解答题17．若命题p 为真命题，则2010m m +<⎧⎨−>⎩，解得2m <−．若命题q 为真命题，则216(2)160m ∆=+−<， 解得31m −<<−．又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p ，q 中一真一假．①若p 真q 假，则 21 3m m m <−⎧⎨≥−≤−⎩或，解得3m ≤−；②若p 假q 真，则231m m ≥−⎧⎨−<<−⎩，解得21m −≤<−；综上：(,3][2,1)m ∈−∞⋃−−）．18．（Ⅰ）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有0.010.01520.0250.005()101x +⨯++⨯+=， 可得0.3x =，所以频率分布直方图为：均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）0.25(0.05)10001752+⨯=，不低于85的估计有175人． （Ⅲ）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于20为事件M ，第一组学生数2人，第二组学生数3人，第六组学生数1人设第一、二组学生为12345,,,,a a a a a ，第六组学生为b ，从中抽取2人，所有基本事件为：{}{}{}{}{}121314151,,,,,a a a a a a a a a b {}{}{}{}2324252,,,,a a a a a a a b {}{}{}34353,,,a a a a a b {}{}454,,a a a b {}5,a b所有基本事件为15种，事件M 包括的基本事件有：共有5种 所以51()153P M ==． 19．（Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C −中，1AA AB ⊥，在Rt DAB中，BD =2AD =，则AB = 在ABC 中，2AC BC ==，AB =BC AC ⊥； 又1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥又1AA AC A ⋂=，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ， 则BC ⊥平面11ACC A ，又BC ⊂平面BCD ，则平面BCD ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：CA ，CB ，1CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C -xyz ，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2D ，()10,0,4C 则(2,2,0)AB =−，(2,2,2)BD =−，1(0,2,4)BC =− 设平面ABD 的一个法向量为1(,,)n x y z =则11022022200AB n x y x y z BD n ⎧⋅=−+=⎧⎪⇒⎨⎨−+=⋅=⎩⎪⎩ 令1x =，则1(1,1,0)n =设平面1BDC 的一个法向量为2n ， 同理可得2(1,2,1)n =，则12cos ,2n n <>== 由图可知二面角1A BD C −−的平面角为钝角，则其大小为150︒．20．（Ⅰ）连接QF ，根据题意，||||QP QF =，则||||||||4||QE QF QE QP EF +=+=>= 故定点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为22222(0)x y a b a b+=>>，可知2a =，c =1b =，所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=． （Ⅱ）①当AB 为长轴（或短轴）时，可知点就是椭圆上的上，下顶点（或左右顶点），则18||||225ABCSOC AB ab =⨯⨯==≠，故舍去． ②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设斜率为k ，设直线AB 的方程为y kx =，设点()11,A x y ，联立方程组2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得212414x k=+，2212414k y k =+． 由||||CA CB =，知ABC 是等腰三角形，O 为AB 的中点，则可知直线OC 的方程为1y x k=−， 同理可知点C 的坐标满足222244k x k =+，22244y k =+，则222222444(1)||141414k k OA k k k +=+=+++，222222444(1)||444k k OC k k k +=+=+++，282||||5ABCOACSSOA OC ==⨯==， 解得21k =．由①②知，当21k =时，ABC 的面积为85，此时点C的坐标(． 21．（Ⅰ）因为平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ，平面ADE ⋂平面ABFE AE =，DE AE ⊥，则DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，则DE AF ⊥． 又正方形ABFE 中，AF BE ⊥，且BE DE E ⋂=，,BE DE ⊂平面BDF ，则AF ⊥平面BDE又BD ⊂平面BDE ，则AF BD ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE ，EA ，EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系E -xyz ，因为//CF DE ，CF ⊥平面ABFE ，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,2C ，()0,0,1D ， 即(2,0,1)AD =−，(2,2,2)AC =− 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =则02022200AD n x z x y z AC n ⎧⋅=−+=⎧⎪⇒⎨⎨−++=⋅=⎩⎪⎩ 令1x =，则(1,1,2)n =−设()2,,0P t 且02t ≤≤，则(2,2,2)CP t =−−， 设直线CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin |cos ,|118n CP t θ=〈〉==⇒=或32t =−（舍）所以1AP =．22．（Ⅰ）由题意抛物线的方程为：24y x =设直线:1l x ty =+，代入抛物线中得：224(1)440y ty y ty =+⇒−−=则124y y t +=，()12122x x t y y +=++ 设()()1122,,,A x y B x y ， 则1212(,)22x x y y M ++，即2(21,2)M t t +则222122OM t k t t ==⇒=+即直线0l y −=．（Ⅱ）由题意1l ，2l 的斜率存在且都不为0设直线1:4l x my =+，代入抛物线中得：24160y my −−= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12|||PQ y y =−=同理||RS =则1||||2PRQS S PQ RS ===令2212u m m =+≥，则S =当且仅当2u =，即1m =±时，四边形PRQS 面积的最小值为80．。