大学物里作业分析（5）（2007/04/24）
求下列刚体对定轴的转动惯量
(1) 一细圆环，半径为R ，质量为m 但非均匀分布，轴过环心且与环面垂直； (2) 一匀质空心圆盘，内径为R 1，外径为R 2，质量为m ，轴过环中心且与环面垂直； (3) 一匀质半圆面，半径为R ，质量为m ，轴过圆心且与圆面垂直。
解:(1) 取质元dm ，质元对轴的转动惯量dJ =R 2
dm
园环转动惯量为各质元转动惯量之和 m R dm R dm R dJ J 222=⎰=⎰=⎰= (2) 园盘的质量面密度为)
(2122
R R m
-
=
πσ
若是实心大园盘，转动惯量为 4
2
22222222R 2
1R R 21R m 21J πσπσ=⋅⋅==
挖去的空心部分小园盘的转动惯量为 4121212
2112
12121R R R R m J πσπσ=⋅⋅==
空心园盘转动惯量为 )(2
1)()
(21)(2122214
142212
2414212R R m R R R R m R R J J J +=--=-=-=πππσ
(3) 若为完整的园盘，转动惯量为 220221
mR R m J =⋅⋅=
半园盘转动惯量为整个园盘的一半，即 202
1
21mR J J ==
注：只有个别同学做错了！
如图5-31所示，一边长为l 的正方形，四个顶点各有一质量为m 的质点，可绕过一顶点且与正方形垂直的水平轴O 在铅垂面内自由转动，求如图状态(正方形有两个边沿着水平方向有两个边沿着铅垂方向)时正方形的角加速度。
O
题图 图5-31
解：正方形的转动惯量 2224)2(2ml l m ml J =+⋅= 正方形受到的重力矩 mgl m 2=
由转动定律 M =J 得到转动角加速度 l g ml
mgl J M 2422===
α 注：此题做得很好！
如图5-32所示，一长度为l ，质量为m 的匀质细杆可绕距其一端l /3的水平轴自由转动，求杆在如图角位置θ处的角加速度。
θ
O
图5-32 题图
解：杆对轴的转动惯量为左、右两部分之和 2
22219
1)32(3231)3(331ml l m l m J J J =⋅⋅+⋅⋅=
+= 杆受重力矩为 θcos 6l mg M ⋅= 由转动定律 M =J 得到 θαcos 23l
g
J M ==
注：此题大部分同学都能做对。
一星球可看作匀质球体，若在一个演化过程中它的半径缩小为原来的一半，它的自转周期为原来的 倍，它赤道上一点的速率是原来的 倍。
解：；2
一匀质圆盘半径为R ，质量为m 1，以角速度0ω绕过盘心的垂轴O 转动，一质量为m 2的子弹以速度v 沿圆盘的径向击入盘边缘，求击入后盘的角速度。
解：按角动量守恒有 ωω)2
1
(212221021R m R m R m +=⋅ 得到 21012m m m +=ωω
注：这两个题做得很好！
如图5-39所示，一细杆长度为l ，质量为m 1，可绕在其一端的水平轴O 自由转动，初时杆自然悬垂。
一质量为m 2的子弹以速率v 沿杆的垂向击入杆中心后以速度2v 穿出，求杆获得的角速度及最大上摆角。
v
2
v
图5-39 题图
解：按角动量守恒有 ω21223
1
222l m l v m l v m +⋅=⋅
得到杆获得的角速度 l m v m 1243=
ω
按机械能守恒
)cos 1(2
31211221θω-⋅=⋅⋅l
g m l m 得到杆最大上摆角)1631arccos(21222gl
m v m -
=θ
注：此题做得不好，有些同学只把角速度算出来了，还有些同学角度没算对！
如图5-41所示，一细杆长度为l ，质量为m ，在光滑水平面上以速度v 沿杆垂向平动。
杆与垂轴z 相撞后绕z 轴转动。
若碰撞位置O 距杆一端3l ，求杆绕z 轴转动的角速度。
解：杆的角动量守恒，有 L 1=L 2
(1) L 1为碰撞前杆的角动量，以逆时针转动为正方向，下面l 32
部分角动量L 下为正、上
面l 3
1
部分角动量L 上为负：即上下L L L -=1。
对于下面部分，取线元dx ，线元质量为dx l m dm =，动量为dx l
mv dp =，对于转轴的角动量为 xdx l mv dL =
故 ⎰==⎰=3/209
2
l mvl xdx l mv dL L 下同理，对于上面部分
⎰
==⎰=3/0
18
1
l mvl dxd l mv dL L 上 故碰撞前杆的角动量 mvl L L L 6
1
1=-=下上 (2) 2L 为碰撞后角动量。
碰后杆绕子轴转动的惯量为 2229
1
)31(3131)32(3231ml l m l m J =⋅⋅+⋅⋅= 角动量 ωω2
29
1ml J L =
= (3) 由角动量守恒 L 1=L 2有
ω29
1
61ml mvl = 得到杆转动角速度 l
v
23=
ω 注：此题大部分同学做对了！
5． 20如图5-42所示，一定滑轮可看作匀质圆盘，它的半径为R ，质量为m 1，可绕过
盘心的水平轴O 自由转动。
轮上绕有轻绳，绳上挂两个质量分别为m 2和m 3的物体，已知m 2>m 3，求m 2从静止下落h 时的速度
m 3 h
图5-42 题图
解：以初始位置作为两个重物的重力势能零点，按机械守恒，有 gh m gh m R m v m m 232212322
1
21)(210-+⋅⋅++=
ω (1) 按角量线量关系有 ωR v = (2)
联立以上二式解得 3
213222)(2
m m m gh
m m v ++-=
如图5-44所示，一劲度系数为k 的轻弹簧左端固定，右端连一轻绳，绳子绕过一半径为r ，质量为m 1的定滑轮后连接一质量为m 2的物体。
滑轮可看作匀质圆盘且轴视作光滑。
先用手托住物体使弹簧为自然长度，然后松手使其下落。
(1) 求弹簧的最大伸长；
(2) 求重物下落h 处的速度。
图5-44 题图
解：(1) 设最大伸长为l m ，设初始位置为重物的重力势能零点，按机械守恒有 m m gl m kl 22
210-=
得到 k
g
m l m 22=
(2) 按机械能守恒有 gh m kh R m v m 22221222
1
2121210-+⋅⋅+=
ω (1) 由角量线量关系有 v =R (2)
联立以上二式解得 2
12
2224m m kh gh m v +-=
注：此题做得不错！
取初始位置为如图5-45所示，一细杆长度l =0.5m ，质量m =6kg ，可绕其一端的水平
轴O 在竖直平面内无摩擦转动。
在O 轴正上方高度h =2l 处的p 点固定着一个原长也为l ，劲度系数k=100Nm –1
的弹簧。
把杆的活动端与弹簧的活动端挂接并使杆处于水平位置后释放，求杆转到竖直位置时的角速度
h
k
lm
图5-45 题图
解：杆重力势能的零点，按机械能守恒定律有
2
l
mg ml 3121)l l 5(k 21222⋅+⋅⋅=-ω 解得 s rad ml
mg
kl /2.43)15(32=--=
ω 注：此题过程都会，但是结果有出入！。