a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
a
b2Biblioteka 例3：已知a>0,b>0，且a+b=1,求证:
a 1 b 1 2
2
2
知识小结：
(1)若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
(2)若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取
“=”).
2
(3)若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )(2当且仅当a=b时取“=”).
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
2
2
(A)若a,b R,则 b a 2 b a 2. a b ab
(B)若x, y是正实数,则lg x lg y 2 lg x lg y.
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab

0,则 b

a

[(
b)
(
a )]
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )(2当且仅当a=b时取“=”).
2
2
例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1 (3) a2

1 b2

8
(4)(a 1 )2 (b 1 )2 25
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
2
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2