第10章 曲线积分与曲面积分1．计算下列对弧长的曲线积分：(1) sin d C x y s ⎰，其中C 为3x ty t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤1)；(2)22()d Cx y s +⎰Ñ，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤2π)； (3) 2d Cy s ⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d Cy s ⎰，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d Cx y s +⎰，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；(6)s ⎰，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；(7) d Cz s ⎰，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩从t =0到t =1的一段；(8) 2d Cx s ⎰，其中C为圆周2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解答：(1)1111sin d 3sin sin cos cos )Cx y s t t tdt t t tdt ===-+⎰⎰⎰(s i n 1c o s 1)=-；(2) 2223()d 2Cx y s a a ππ+==⎰⎰Ñ；(3)22223500d (1cos )16sin 2Cty s a t a dt ππ=-=⎰⎰⎰353025632sin 15a d a πθθ==⎰；(4)3222211d (1)1)33Cy s yy ==+=⎰⎰； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，:0(01)O B xy =≤≤，:1(01)BA y x x =-≤≤()d Cx y s +⎰=()d OAx y s +⎰+()d OBx y s +⎰+()d ABx y s +⎰111(1xdx ydy x x =+++-⎰⎰⎰1=；(6) C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2a a x t a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(0≤t ≤2π)，2222200coscos 22222a a t ts dt dt a dt a πππ====⎰⎰⎰⎰；(7)1d Cz s =⎰⎰31212011(2)33t ==+=⎰； (8) C可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ⎧=⎪=∈⎨⎪=⎩2220d cos Cx s πθπ==⎰⎰．所属章节：第十章第一节 难度：一级2．已知半圆形状铁丝cos sin x a ty a t =⎧⎨=⎩(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝的质量解答：20d sin 2Cm y s a a π===⎰⎰所属章节：第十章第一节难度：一级3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到2π一段弧的质量解答：222222223208()d (ππ)3C m x y z s a b t a b π=++=+=+⎰⎰所属章节：第十章第一节 难度：二级4．求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点到x 轴的距离成正比，比例系数为k )解答：722332d (1cos )(1cos )CI ky s k t t dt ππ==-=-⎰⎰⎰23740102464sin 235t kadt ka π==⎰ 所属章节：第十章第一节 难度：二级5．计算下列对坐标的曲线积分：(1) d d C y x x y +⎰，其中C 为圆弧cos π,(0)sin 4x a t t y a t =⎧≤≤⎨=⎩，依参数t 增加方向绕行；(2) (2)d ()d Ca y x a y y ---⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩自原点起的第一拱； (3) d Cx y ⎰，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；(4)Cxydx ⎰Ñ，其中C 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)()22440d d sin (cos )cos sin cos 22Ca y x x y a td a t a td a t atdt ππ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰(2)(2)d ()d Ca y x a y y ---⎰220[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a ππ=-+---+-=⎰(3)525d (5)2Cx y xd x =-=-⎰⎰ (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点指向(2,0)a ，则1202320π02aCC C a xydx xydx xydx x dx a =+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级6．计算22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，1)：(1) OA 为直线段y =x ； (2) OA 为抛物线段y =x 2； (3) OA 为y =0，x =1的折线段解答：(1)122201()d d 3OA x y x xy y x dx -+==⎰⎰；(2)()122243208()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ⎡⎤-+=--=⎣⎦⎰⎰； (3) 设点B 的坐标为(1，0)，则OA 分为两段1122205()d d 6OAOBBAx y x xy y x dx ydy -+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第十章第二节 难度：一级7．计算22d d ABxy x x y +⎰，其中点A 、B 的坐标分别为A (0，0)，B (1，1)：(1) AB 为直线段y =x ； (2) AB 为抛物线段y =x 2； (3) AB 为y =0，x =1的折线段 解答：(1) 122202d d (2)1ABxy x x y x dx x dx +=+=⎰⎰；(2)1232202d d [2()]1ABxy x x y x dx x d x +=+=⎰⎰；(3) 设点C 的坐标为(1，0)，则AB 分为两段1122d d 011ABACCBxy x x y dx dy +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级8．计算下列曲线积分：(1) 222()d 2d d Ly z x yz y x y -+-⎰，其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(0≤t ≤1)；(2)d d (1)d Lx x y y x y z +++-⎰，L 为从点A (1，1，1)到点B (2，3，4)的一直线段；解答：(1)1222466401()d 2d d (43)35Ly z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=⎰⎰； (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+⎧⎪=+≤≤⎨⎪=+⎩1d d (1)d (14293)13Lx x y y x y z t t t dt +++-=+++++=⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级9．一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。

试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=a 2(a >0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功解答：20d cos Lx da t a π==-⎰⎰F F F ．所属章节：第十章第二节 难度：一级10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz 轴的距离成反比(比例系数为k )，方向垂直且朝着Oz 轴，试求当一质点沿圆周cos 1sin x t y z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩从点(1，1，0)到点(0，1，1)时力所作的功．注：本题已改动，否则点不在圆周上． 解答:由题目可知F =.当一质点沿圆周cos 1sin x ty z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩从点(1，1，0)到点(0，1，1)时，y 为常数，0dy =，此时力所作的功为：020212201cos 11cos ln(1)ln 21cos 122k t kt x d t dt k t k t t π==-=-+=++⎰⎰⎰． 所属章节：第十章第二节难度：三级11．把对坐标的曲线积分(,)d (,)d CP x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中C 为：(1) 在xOy 平面内沿直线y =x 从点(0，0)到点(1，1)； (2) 在xOy 平面内沿抛物线y =x 2从点(0，0)到点(1，1)；解答：(1)(,)d (,)d CCP x y x Q x y y ds +=⋅⎰⎰F n ，n 为y =x的单位法向量，,22=n ，(,)d (,)d (,)(,))ds CCCP x y x Q x y y ds P x y Q x y +=⋅=+⎰⎰⎰F n ； (2) n 为2y x =的单位法向量，=n ，(,)d (,)d CCCP x y x Q x y y ds +=⋅=⎰⎰⎰F n ．所属章节：第十章第二节 难度：二级12．设L 为曲线23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩上相应于t 从0到1的曲线段，试把对坐标的曲线积分d d d LP x Q y R z++⎰化成对弧长的曲线积分解答：n 为曲线L 23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩的单位法向量，2==n Ld d d LP x Q y R z ds S ++=⋅=⎰⎰⎰F n ．所属章节：第十章第二节 难度：二级13．设闭曲线C 为正向圆周x 2+y 2=4，试就函数P =2x –y ，Q =x +3y 验证格林公式的正确性 解答：格林公式(,)d (,)d ()CDQ PP x y x Q x y y dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰， 由于220(2(4cos 2sin )(2-)cos 2(2cos 6sin )sin 3)Cdx dy d y d x x y ππθθθθθθ+=-+-+⎰⎰⎰202(210sin cos )8d πθθθπ=-=⎰，()28DDQ Pdxdy dxdy x y π∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰， 所以格林公式正确．所属章节：第十章第三节 难度：一级14．试利用格林公式计算下列曲线积分： (1) 231(2)3Cx y y dx x x dy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰Ñ，其中C 以x =1、y =x 及y =2x 为边的三角形正向边界； (2)22Cxy dy xydx -⎰Ñ，C 为正向圆周x 2+y 2=a 2；(注：本题已改动，否则结果为0)(3) ()d ()d C x y x x y y +--⎰，C 为椭圆周22221x y a b+=，取正向解答：(1)231111(2)12113222C Dx y y dx x x dy dxdy ⎛⎫-+-==⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰Ñ，D 为C 所围区域； (2) 22222341()π2aCDxy dy x ydx x y dxdy d d a πθρρ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ，D 为C 所围区域； (3)()d ()d 22CDx y x x y y dxdy ab π+--=-=-⎰⎰⎰Ñ，D 为C 所围区域．所属章节：第十章第三节难度：一级15．利用曲线积分，求下列曲线所围图形的面积：(1) 星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩； (2) 椭圆9x 2+16y 2=144；(3) 圆x 2+y 2=2ax解答：(1)222233332220001133d d {cos sin sin cos }sin cos 2228C x y y x a td t td t t tdt a ππππ-=-==⎰⎰⎰⎰Ñ； (2) 椭圆9x 2+16y 2=144化为参数方程4cos 3sin x ty t=⎧⎨=⎩,2220001d d 6{cos sin sin cos }6122C x y y x td t td t dt ππππ-=-==⎰⎰⎰⎰Ñ； (3) 圆x 2+y 2=2ax 化为参数方程cos sin x a t ay a t=+⎧⎨=⎩,222220001d d {(cos )sin sin (cos )}(1cos )222C a a x y y x a t a d t a td a t a t dt a ππππ-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰Ñ．所属章节：第十章第三节难度：二级16．验证下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关，并计算它们的积分值： (1) (2,2)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰；(2) (3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰； (3)(1,2)423(0,0)(21)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰解答：(1) 因为1Q Px y∂∂==∂∂，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时可选取,[1,2],y x x =∈ (2,2)2(1,1)1()d ()d 23x y x x y y xdx ++-==⎰⎰；(2) 因为2123Q Pxy y x y∂∂==-∂∂，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时可选取1,[1,2],y x x =+∈ (3,4)223222322(1,2)1(6)d (63)d {6(1)(1)6(1)3(1)}xy y x x y xy y x x x x x x x dx -+-=+-+++-+⎰⎰2221(1){63(1)(1)}236x x x x x dx =+++-+=⎰;(3) 因为324Q Px y x y∂∂==-∂∂，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时选取2,[0,1],y x x =∈ (1,2)14232424(0,0)(21)d (4)d {4161264}15xy y x x xy y x x x x dx -++-=-++-=-⎰⎰．所属章节：第十章第四节 难度：二级17．利用格林公式计算下列曲线积分： (1)(24)d (356)d Cx y x x y y -+++-⎰，其中C 为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)三角形正向边界；(2) 32(3e )d sin d 3xC x x y x x y y y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎰，其中C 是沿摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩从点(0，0)到点(π，2)的一段弧； (3)(e sin )d (e cos )d x x Cy my x y m y -+-⎰，其中C 为上半圆周22x y ax +=，取逆时针方向．注：本小题已加了条件． 解答： (1)D(24)d (356)d 412Cx y x x y y dxdy -+++-==⎰⎰⎰Ñ，D 为C 所围区域；(2) 32(3e )d sin d 3xCx x y x x y y y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎰113322(3e )d sin d (3e )d sin d 33xxC C C x x x y x x y y y x y x x y y y +⎛⎫⎛⎫=++--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰Ñ， 其中1:,[0,2]2C x y y π=∈方向从点(π，2)到点(0，0)，由格林公式前一积分为零，故原积分13332223203(3e )d sin d {()sin }38244x Cx x y x x y y y x e y y dy ππππ⎛⎫=-++-=++- ⎪⎝⎭⎰⎰ π323e (π1)3π2cos2sin 23=-+++-；(3)(e sin )d (e cos )d x x Cy my x y m y -+-⎰11(e sin )d (e cos )d (e sin )d (e cos )d x x x xC C C y my x y m y y my x y m y +=-+---+-⎰⎰Ñ其中1:0,[0,2]C y x a =∈方向从点[2,0]a 到点(0，0)，记D 为1C C +所围区域，则由格林公式原积分220108a Dmdxdy dy m a π=+=⎰⎰⎰．所属章节：第十章第三节 难度：二级18．计算曲线积分22d d C y x x y x y -++⎰：(1) C 为任一按段光滑的、不包含原点的闭曲线；(2) C 为椭圆2214x y +=，取正向；解答：(1) 由于当220x y +≠时，2222()()y x y x x y x y∂-∂=∂∂++，故由格林公式 22d d 00C Dy x x ydxdy x y -+==+⎰⎰⎰Ñ (2)11122222222d d d d d d d d C C C C C y x x yy x x y y x x y y x x y x y x y x y x y +-+-+-+-+=-=-++++⎰⎰⎰⎰蜒蜒，其中2221:C x y ε+=取负向，由于1:cos ,sin C x t y t εε==，所以22d d C y x x yx y -++⎰2222220sin cos 2t t dt πεεπε+==⎰． 所属章节：第十章第三节 难度：三级19．验证下列P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是某个函数u (x ，y )的全微分，并求此原函数u (x ，y )：(1) (2)d (2)d x y x x y y +++；(2) 2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--； (3) 43224(4)d (65)d x xy x x y y y +++；注：本小题已作改动，原来题中43224(4)d (65)d x xy x x y y y ++-，与参考答案523525x x y y C+++不相符．也可以改动答案为523525x x y y C +-+．(4) e cos d e sin d x x y x y y -； 解答：(1)2Q Px y∂∂==∂∂ , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 220(,)(2)2(),2()2,()22xx u y u x y x y dx xy y x y x y y C y ϕϕϕ∂'=+=++=+=+=+∂⎰则221(,)()22u x y x y xy C =+++(2)22Q Px y x y∂∂==-∂∂ , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 322222220(,)(2)(),2()23xx uu x y x xy y dx x y xy y x xy y x xy y yϕϕ∂'=+-=+-+=-+=--∂⎰，3()3y y C ϕ=-+，则331(,)()()3u x y x y xy x y C =-+-+；(3)212Q Pxy x y∂∂==∂∂ , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 543232222450(,)(4)2(),6()65,()5xx uu x y x xy dx x y y x y y x y y y y C yϕϕϕ∂'=+=++=+=+=+∂⎰则5235(,)25x u x y x y y C =+++；(4)sin x Q Pe y x y∂∂==-∂∂ , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分.(,)cos cos (),sin ()sin ,()xx x x x uu x y e ydx e y y e y y e y y C yϕϕϕ∂'==+=-+=-=∂⎰ 则(,)e cos x u x y y C =+．所属章节：第十章第四节 难度：二级20．设有力场F =(x +y 2)i +(2xy –8)j ，证明质点在此力场内移动时，场力所作的功与路径无关，只与起终点有关 解答：由于2Q Py x y∂∂==∂∂，利用格林公式知场力所作的功与路径无关, 只与起终点有关． 所属章节：第十章第四节 难度：二级21．计算下列曲面积分 (1) d Sxyz S ⎰⎰，其中S 为平面12zx y ++=在第一卦限的部分； (2) d Sx S ⎰⎰，其中S 为球面2222xy z R ++=在第一卦限的部分；(3)SS ，其中S 为单位球面2221x y z ++=；(4)()22d Sxy S +⎰⎰，其中S为锥面z =及平面z =1所围区域的整个边界曲面；解答：(1) 222,2,2,{(,)1,0,0}x y xy z x y z z D x y x y x y =--=-=-=+≤≥≥1101d 3(222)6(1)20xyxSD xyz S xy x y dxdy dx xy x y dy -=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222{(,),0,0}x y xy z z z D x y x y R x y ====+≤≥≥，2420d 4xyRSD R x S R d ππθρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3)22{(,)1}x y xy z z z D x y x y ====+≤22120022xyS DS dπθρπ===⎰⎰；(3)将S分为两个曲面12,S S.1S为锥面z=22{(,)1}x y xyz z z D x y x y====+≤()()1212222300d2xyS Dx y S x y dxdy d dπθρρ+=+==⎰⎰⎰2S为平面z=1，221,0,0,{(,)1}x y xyz z z D x y x y====+≤.()()12122223001d2xyS Dx y S x y dxdy d dπθρρπ+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()221d1)π2Sx y S+=⎰⎰．所属章节：第十章第五节难度：二级22．设半径为R的球面上每点的密度等于该点到某一定直径的距离的平方，求此球面的质量解答：将直径设为Z轴, 球心为原点,球的方程为z=，x yz z==球面的质量为()22dSx y S+⎰⎰，()2232224008d22π3xyRS Dx y S R R d Rπθρ+===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第五节难度：二级23．求球面z=220x y ax+-=内部的面积解答：x yz z z===22{(,)}xyD x y x y ax=+≤cos222d(2)xyaS DS a d aπθπθρπ-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第五节 难度：二级24．求旋转抛物面221()2z x y =+被平面z =2所截部分的质心位置，假设其上各点的密度与该点到z 轴的距离平方成正比．解答：由旋转抛物面221()2z x y =+的对称性，质心位置在z 轴，2222221()()2()xyD S z SD k x y k z x y dSM z M k x y dS ++====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰%， 其中22:{(,)4}xy D x y x y +≤． 所属章节：第十章第五节难度：二级25．计算下列曲面积分 (1) 2d d Sz x y ⎰⎰，其中S 为平面1x y z ++=位于第一象限部分的上侧； (2) d d d d d d Sx y z y z x z x y ++⎰⎰，其中S 为球面2222xy z R ++=的外侧；(3)32()d d 2d d d d Sxyz y z x y z x z x y --+⎰⎰，其中S 为柱面222x y R +=(0≤z ≤1)的外侧；（此题的柱面是否封闭？若是，则答案有误，若不是，则题目中积分符号上的圆圈不对；以下按封闭解答） (4)22d d d d d d Sxz y z x y z x y z x y ++⎰⎰，其中S 为2222,1,0,0,0z x y x y x y z =++====在第一象限中所围立体的表面的外侧；解答： (1)1122201d d (1)(1)12xyxSD z x y x y dxdy dx x y dy -=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)由S 的对称性可知，d d d d d d 36SSDx y z y z x z x y zdxdy ++==⎰⎰⎰⎰乙22064d R πθπ==⎰⎰；(3)322()d d 2d d d d (1)Sxyz y z x y z x z x y x dxdydz Ω--+=+⎰⎰⎰⎰⎰Ò2122420π(cos 1)π4Rd dr r rdz R R πθθ=+=+⎰⎰⎰；(4)21222222d d d d d d ()()8r Sxz y z x y z x y z x y z x y dxdydz d dr z r dz ππθΩ++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò．所属章节：第十章第六节 难度：二级26．利用高斯公式计算下列曲面积分 (1) 222d d d d d d Sx y z y z x z x y ++⎰⎰，其中S 是由x =0，y =0，z =0,1x y z ++=所围立体表面的外侧； (2) ()d d ()d d S x y z y z x y x y -+-⎰⎰，其中S 为221xy +=，z =0及z =3所围立体表面的外侧；(3)d d d d (1)d d Sx y z y z x x y z x y +++++⎰⎰，其中S为上半球面z =(4)22()d d ()d d 2d d Sx yz y z y zx z x z x y -+-+⎰⎰，其中S为锥面1z =被z =0所截部分的上侧．注：(3)(4)两题积分符号上的圆圈已去掉，由于所涉曲面不封闭。