第一章 样本与抽样分布
2. 格列汶科定理
设总体分布函数为F (x) ，经验分布函数为Fn(x) ， 则
P lim sup Fn ( x) F ( x) 0 1
n


即 当n 很大时， F n ( x ) F ( x )
第一章
样本与抽样分布
三. 样本的数字特征
1. 样本均值
1 n X Xi n i 1
第一章 样本及抽样分布
1.1 总体和样本 1.2 抽样分布
武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青
1.1 总体和样本
一. 二. 三. 四. 总体与样本 经验分布函数 样本的数字特征 统计量
武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青
一. 总体与样本
1. 总体和个体
总体：研究对象的全体，用随机变量X表示。 个体：总体的每个单元。
称 2 服从自由度是 n 的卡方分布。 概率密度为
n x 1 1 2 2 x e , x 0, n 2 n f ( x ) 2 ( ) 2 , x0 0
第一章 样本与抽样分布
2 分布的性质
① E ( 2 ( n ) ) = n， D ( 2 ( n ) ) = 2 n ② 2分布的可加性 若12 ~ 2(n1)， 22 ~ 2(n2)且相互独立， 12 + 22 ~ 2(n 1 + n 2) 则
2. 样本方差 n 1 2 S2 ( X X ) i n 1 i 1 3. 样本标准差
1 n x xi nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n 1 2 s2 ( x x ) i n 1 i 1
S
1 2 ( X X ) i n 1 i 1
第一章
n
s
1 n 2 ( x x ) i n 1 i 1
P
n→∞
总体均值 E ( X ) 总体方差 D ( X )
P
n→∞
P
n→∞
第一章
总体矩
样本与抽样分布
四. 统计量
设X1, X2, , Xn是总体X的样本，若函数 g ( X1, X2, , Xn )不含任何未知参数， 则称函数g ( X1, X2, , Xn )为一个统计量。
如 样本均值, 样本方差, 样本矩 经验分布函数F n ( x )
P ( U ≤ u ) =1 － = ( u )

1 －

u o
u
u 0.05 = 1.645
第一章 样本与抽样分布
2. 2 (卡方)分布
定义：设总体X ~ N(0,1)，X1, X2, , Xn是X的样本统 计量2定义为
2 2 2 X12 X 2 Xn , X i ~ N (0,1)
1 (1.645 99 ) 2 2 67.221
第一章

x o
2 ( n)
样本与抽样分布
3. t 分布
X T 则称 T 服从自由度是n的t 分布 Y /n n 1 n 1 概率密度为 ( ) 2 2 t 2 f (t ) 1 n n n ( ) 2 t 分布的性质
第一章
样本与抽样分布
1.2 抽样分布
一. 分布函数的分位点 二. 四大统计分布 三. 正态总体的抽样分布定理
武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青
一. 分布函数的分位点
抽样分布 统计量的分布。 分位点 设统计量U服从某分布，如果对于 (0<<1) 有 P ( U > U ) = 则称U为该分布的上分位点。
③ 当 n = 1时，2 ( n ) 为分布, 当 n = 2时，2 ( n ) 为指数分布。
第一章
样本与抽样分布
2 分布的分位数计算
① 当n ≤ 45时, 可直接查表求出 如 20.1 ( 25 ) = 34.328 ② 当n ＞ 45时, 利用以下近似公式计算 1 2 (n) (u 2n 1) 2 2 2 如 2 0.05 (50)
二. 经验分布函数
1.经验分布函数 将n个样本值按大小排成顺序
x(1) x (2)

x (n)
记Fn (x)为不大于x的样本值出现的频率,则
称Fn (x) 为经验分布函数。
0 , x x(1) , k Fn ( x ) , x( k ) x x( k 1) , n 1 , x x( n ) .
样本与抽样分布
4. 样本的 k 阶原点矩
1 n Ak X ik n i 1
5. 样本的 k 阶中心矩
1 n k ak xi n i 1
1 n k Bk ( X i X ) n i 1
1 n bk ( xi x) k n i 1
第一章
样本与抽样分布
由大数定律可知 定理 样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征 样本均值 样本方差 样本矩
F(u)
面积 =
u o
第一章
U
样本与抽样分布
二. 四大统计分布
1. 正态分布
设 X ~ N(μ, σ2), 则U = ( X-μ) /σ ~ N ( 0, 1 ) 记标准正态分布的分布函数为(u), 分位点为u P ( U > u ) = 例如 由于 查表 所以 求 u 0.05 1 － = 0.95 (1.645) = 0.95
样本的联合分布函数为F*(x1,x2,,xn), 样本的联合概率密度函数为f*(x1,x2,,xn),
且 F* (x1, x2 ,, x n) = F (x1 ) F (x2 )F (xn )
f* (x1, x2 ,, xn) = f (x1 ) f (x2 )f (xn )
第一章 样本与抽样分布
2. 样本与样本值
样本 在总体X中抽取n个个体X1, X2 , , Xn , n为样本容量， (X1, X2 , , Xn)构成n维随机变量。
样本值 样本的取值，即样本的观察值x1, x2 , , xn
第一章 样本与抽样分布
简单随机样本 ( 1 ) 每个个体Xi与总体X同分布； ( 2 ) 个体之间相互独立。 设总体X的分布函数为F ( x ),概率密度为f ( x )，则